Mapa de inclusión

En matemáticas , si${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle B,}$entonces el mapa de inclusión es la función${\displaystyle \iota }$que envía cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle A}$a${\displaystyle x,}$tratado como un elemento de${\displaystyle B:}$$${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

Un mapa de inclusión también puede denominarse función de inclusión , inserción , ^{[ 1 ]} o inyección canónica .

Una "flecha con gancho" ( U+ 21AA ↪ FLECHA HACIA LA DERECHA CON GANCHO ) ^{[ 2 ]} se usa a veces en lugar de la flecha de función anterior para denotar un mapa de inclusión; por lo tanto: $${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(Sin embargo, algunos autores utilizan esta flecha curva para cualquier tipo de incrustación ).

Esta y otras funciones inyectivas análogas ^{[ 3 ]} de subestructuras se denominan a veces inyecciones naturales .

Dado cualquier morfismo${\displaystyle f}$entre objetos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, si existe un mapa de inclusión${\displaystyle \iota :A\to X}$en el dominio${\displaystyle X}$, entonces se puede formular la restricción${\displaystyle f\circ \iota }$de${\displaystyle f.}$ En muchos casos, también se puede construir una inclusión canónica en el codominio.${\displaystyle R\to Y}$conocida como la gama de${\displaystyle f.}$

Los mapas de inclusión tienden a ser homomorfismos de estructuras algebraicas ; por lo tanto, dichos mapas de inclusión son incrustaciones . Más precisamente, dada una subestructura cerrada bajo ciertas operaciones, el mapa de inclusión será una incrustación por razones tautológicas. Por ejemplo, para alguna operación binaria${\displaystyle \star ,}$exigir que $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ es simplemente decir que${\displaystyle \star }$Se calcula de forma consistente tanto en la subestructura como en la estructura principal. El caso de una operación unaria es similar; pero también conviene analizar las operaciones nulas , que seleccionan un elemento constante . En este caso, la clausura implica que dichas constantes deben estar ya dadas en la subestructura.

Los mapas de inclusión se ven en la topología algebraica donde si${\displaystyle A}$es una fuerte deformación retracción de${\displaystyle X,}$El mapa de inclusión produce un isomorfismo entre todos los grupos de homotopía (es decir, es una equivalencia de homotopía ).

Los mapas de inclusión en geometría se presentan en diferentes tipos: por ejemplo, incrustaciones de subvariedades . Los objetos contravariantes (es decir, objetos que tienen retrocesos ; estos se denominan covariantes en una terminología más antigua y no relacionada), como las formas diferenciales , se restringen a subvariedades, dando un mapeo en la otra dirección . Otro ejemplo, más sofisticado, es el de los esquemas afines , para los cuales las inclusiones $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ y $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ pueden ser diferentes morfismos , donde${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo y${\displaystyle I}$es un ideal de${\displaystyle R.}$

• Cofibración : concepto en la teoría de la homotopía 
• Función identidad : función que devuelve su argumento sin cambios.