Expectativa condicional no conmutativa

En matemáticas , la esperanza condicional no conmutativa es una generalización de la noción de esperanza condicional en la probabilidad clásica . El espacio de funciones medibles esencialmente acotadas en un $\sigma$ -espacio de medida finita $(X,\mu )$ es el ejemplo canónico de un álgebra de von Neumann conmutativa . Por esta razón, la teoría de las álgebras de von Neumann a veces se denomina teoría de la medida no conmutativa . Las estrechas conexiones entre la teoría de la probabilidad y la teoría de la medida sugieren que se pueden extender las ideas clásicas de la probabilidad a un contexto no conmutativo estudiando dichas ideas en álgebras de von Neumann generales.

Para las álgebras de von Neumann con un estado trazal normal fiel, por ejemplo las álgebras de von Neumann finitas, la noción de esperanza condicional resulta especialmente útil.

Definición formal

Dejar ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ser álgebras de von Neumann ( ${\mathcal {S}}$ y ${\mathcal {R}}$ (también pueden ser álgebras C* generales), una aplicación lineal positiva $\Phi$ de ${\mathcal {S}}$ sobre ${\mathcal {R}}$ Se dice que es una expectativa condicional (de ${\mathcal {S}}$ sobre ${\mathcal {R}}$ ) cuando $\Phi (I)=I$ y $\Phi (R_{1}SR_{2})=R_{1}\Phi (S)R_{2}$ si $R_{1},R_{2}\in {\mathcal {R}}$ y $S\in {\mathcal {S}}$ .

Aplicaciones

Teorema de Sakai

Dejar ${\mathcal {B}}$ ser una C*-subálgebra del álgebra C* ${\mathfrak {A}},\varphi _ {0}$ una aplicación lineal idempotente de ${\mathfrak {A}}$ sobre ${\mathcal {B}}$ de tal manera que $\|\varphi _ {0}\|=1,{\mathfrak {A}}$ actuando en ${\mathcal {H}}$ la representación universal de ${\mathfrak {A}}$ . Entonces $\varphi _{0}$ se extiende de forma única a una aplicación lineal idempotente ultradébilmente continua. $\varphi$ de ${\mathfrak {A}}^{-}$ , el cierre de operador débil de ${\mathfrak {A}}$ , sobre ${\mathcal {B}}^{-}$ , el cierre de operador débil de ${\mathcal {B}}$ .

En el contexto anterior, un resultado ^{[ 1 ]} demostrado por primera vez por Tomiyama puede formularse de la siguiente manera.

Teorema. Sea ${\mathfrak {A}},{\mathcal {B}},\varphi,\varphi _{0}$ sea como se describe arriba. Entonces $\varphi$ es una expectativa condicional de ${\mathfrak {A}}^{-}$ sobre ${\mathcal {B}}^{-}$ y $\varphi _{0}$ es una expectativa condicional de ${\mathfrak {A}}$ sobre ${\mathcal {B}}$ .

Con la ayuda del teorema de Tomiyama, se puede dar una demostración elegante del resultado de Sakai sobre la caracterización de aquellas C*-álgebras que son *-isomorfas a las álgebras de von Neumann.

Notas

↑ Tomiyama J., Sobre la proyección de norma uno en álgebras W* , Proc. Japan Acad. (33) (1957), Teorema 1, pág. 608

Referencias

Kadison, RV , Expectativas condicionales no conmutativas y sus aplicaciones , Matemáticas contemporáneas, vol. 365 (2004), págs. 143–179.

[1] Tomiyama J., Sobre la proyección de norma uno en álgebras W* , Proc. Japan Acad. (33) (1957), Teorema 1, pág. 608

[ 1 ]