Ley de la expectativa total

La proposición en teoría de la probabilidad conocida como ley de la esperanza total , ^{[ 1 ]} la ley de las esperanzas iteradas ^{[ 2 ]} ( LIE ), ley de Adam , ^{[ 3 ]} la regla de la torre , ^{[ 4 ]} y la propiedad de suavizado de la esperanza condicional , ^{[ 5 ]} entre otros nombres, establece que si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria cuyo valor esperado${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$se define y${\displaystyle Y}$es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad , entonces

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]],}$$

es decir, el valor esperado del valor esperado condicional de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle Y}$es lo mismo que el valor esperado de${\displaystyle X}$.

El valor esperado condicional${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]}$, con${\displaystyle Y}$una variable aleatoria no es un número simple; es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de${\displaystyle Y}$. Es decir, el valor esperado condicional de${\displaystyle X}$dado el evento${\displaystyle Y=y}$es un número y es una función de${\displaystyle y}$. Si escribimos${\displaystyle g(y)}$por el valor de${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y=y]}$entonces la variable aleatoria${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]}$es${\displaystyle g(Y)}$.

Un caso especial establece que si${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}}$es una partición finita o numerable del espacio muestral , entonces

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i}{\operatorname {E} [X\mid A_{i}]\Pr(A_{i})}.}$$

Supongamos que solo dos fábricas abastecen el mercado de bombillas . Las bombillas de la fábrica X tienen una vida útil promedio de 5000 horas, mientras que las de la fábrica Y duran un promedio de 4000 horas. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la vida útil esperada, L , de una bombilla comprada?

Aplicando la ley de la esperanza matemática total, tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [L]&=\operatorname {E} [L\mid X]\Pr(X)+\operatorname {E} [L\mid Y]\Pr(Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \operatorname {E} [L]}$es la vida útil esperada de la bombilla;
• ${\displaystyle \Pr(X)={\frac {6}{10}}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \Pr(Y)={\frac {4}{10}}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica${\displaystyle Y}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} [L\mid X]=5000}$es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} [L\mid Y]=4000}$es la vida útil esperada de una bombilla fabricada por${\displaystyle Y}$.

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil estimada de 4600 horas.

Cuando una función de densidad de probabilidad conjunta está bien definida y las esperanzas son integrables , escribimos para el caso general $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} [X\mid Y=y]&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\iint x\Pr[X=x,Y=y]\,dx\,dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]\,dy\right)dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} [X]\,.\end{aligned}}}$$ Una derivación similar funciona para distribuciones discretas utilizando la suma en lugar de la integración. Para el caso específico de una partición, se asigna una etiqueta única a cada celda de la partición y la variable aleatoria Y es la función del espacio muestral que asigna la etiqueta de una celda a cada punto dentro de ella.

Dejar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$sea ​​un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ are defined. For a random variable ${\displaystyle X}$ on such a space, the smoothing law states that if ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ is defined, i.e. ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, then

$${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(como)}}.}$$

Proof. Since a conditional expectation is a Radon–Nikodym derivative, verifying the following two properties establishes the smoothing law:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ es }}{\mathcal {G}}_{1}}$-measurable
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,}$ for all ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

The first of these properties holds by definition of the conditional expectation. To prove the second one,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$$

so the integral ${\textstyle \int _ {G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ is defined (not equal ${\displaystyle \infty -\infty }$).

The second property thus holds since ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ implies $${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .}$$

Corollary. In the special case when ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset,\Omega \}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, the smoothing law reduces to $${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$$

Alternative proof for ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

This is a simple consequence of the measure-theoretic definition of conditional expectation. By definition, ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$ is a ${\displaystyle \sigma (Y)}$-measurable random variable that satisfies $${\displaystyle \int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,}$$ for every measurable set ${\displaystyle A\in \sigma (Y)}$. Taking ${\displaystyle A=\Omega }$ proves the claim.

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