Transformación estabilizadora de la varianza

En estadística aplicada , una transformación estabilizadora de la varianza es una transformación de datos que se elige específicamente para simplificar consideraciones en el análisis gráfico exploratorio de datos o para permitir la aplicación de técnicas simples basadas en regresión o análisis de varianza . ^{[ 1 ]}

Descripción general

El objetivo de elegir una transformación estabilizadora de la varianza es encontrar una función simple ƒ que se aplique a los valores x de un conjunto de datos para crear nuevos valores $y = ƒ (x)$ de manera que la variabilidad de los valores y no esté relacionada con su valor medio. Por ejemplo, supongamos que los valores x son realizaciones de diferentes distribuciones de Poisson : es decir, cada distribución tiene un valor medio μ diferente . Entonces, como para la distribución de Poisson la varianza es idéntica a la media, la varianza varía con la media. Sin embargo, si la transformación estabilizadora de la varianza simple

y={\sqrt {x}}\,

Si se aplica, la varianza de muestreo asociada a la observación será casi constante: consulte la transformación de Anscombe para obtener más detalles y algunas transformaciones alternativas.

Si bien las transformaciones estabilizadoras de la varianza son bien conocidas para ciertas familias paramétricas de distribuciones, como la de Poisson y la binomial , algunos tipos de análisis de datos proceden de manera más empírica: por ejemplo, buscando entre transformaciones de potencia para encontrar una transformación fija adecuada. Alternativamente, si el análisis de datos sugiere una forma funcional para la relación entre la varianza y la media, esta puede usarse para deducir una transformación estabilizadora de la varianza. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, si, para una media μ ,

\operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,

Una base adecuada para una transformación estabilizadora de la varianza sería

y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,

donde la constante de integración arbitraria y un factor de escala arbitrario pueden elegirse por conveniencia.

Ejemplo: varianza relativa

Si $X$ es una variable aleatoria positiva y para alguna constante s, la varianza viene dada por $h (μ) = s 2 μ 2$ entonces la desviación estándar es proporcional a la media, que se denomina error relativo fijo . En este caso, la transformación estabilizadora de la varianza es

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln(x)\propto \log(x)\,.

Es decir, la transformación que estabiliza la varianza es la transformación logarítmica.

Ejemplo: varianza absoluta más varianza relativa

Si la varianza se da como $h (μ) = σ 2 + s 2 μ 2$ entonces la varianza está dominada por una varianza fija $σ 2$ cuando $| μ |$ es suficientemente pequeño y está dominada por la varianza relativa $s 2 μ 2$ cuando $| μ |$ es suficientemente grande. En este caso, la transformación estabilizadora de la varianza es

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\operatorname {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \operatorname {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.

Es decir, la transformación estabilizadora de la varianza es el seno hiperbólico inverso del valor escalado $x / λ$ para $λ = σ / s$ .

Ejemplo: correlación de Pearson

La transformación de Fisher es una transformación que estabiliza la varianza del coeficiente de correlación de Pearson .

Relación con el método delta

Aquí se presenta el método delta de forma informal para mostrar su relación con las transformaciones estabilizadoras de la varianza. Para una descripción más formal del método delta, consulte Método delta .

Dejar $X$ sea una variable aleatoria, con $E[X]=\mu$ y $\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}$ . Definir $Y=g(X)$ , dónde $g$ es una función regular. Una aproximación de Taylor de primer orden para $Y=g(x)$ es:

$Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )$

De la ecuación anterior, obtenemos:

E[Y]\approx g(\mu )

y

\operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}

Este método de aproximación se denomina método delta.

Consideremos ahora una variable aleatoria $X$ de tal manera que $E[X]=\mu$ y $\operatorname {Var} [X]=h(\mu )$ Observe la relación entre la varianza y la media, lo que implica, por ejemplo, heterocedasticidad en un modelo lineal. Por lo tanto, el objetivo es encontrar una función $g$ de tal manera que $Y=g(X)$ tiene una varianza independiente (al menos aproximadamente) de su valor esperado.

Imponiendo la condición $\operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{constante}}$ Esta igualdad implica la ecuación diferencial:

{\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}

Esta ecuación diferencial ordinaria tiene, por separación de variables , la siguiente solución:

g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}

Esta última expresión apareció por primera vez en un artículo de MS Bartlett . ^{[ 3 ]}

Referencias

↑ Everitt, BS (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics (2.ª ed.). CUP. ISBN 0-521-81099-X.
↑ Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms . OUP. ISBN 0-19-920613-9.
↑ Bartlett, MS (1947). "El uso de transformaciones". Biometrics . 3 : 39–52 . doi : 10.2307/3001536 .

[1] Everitt, BS (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics (2.ª ed.). CUP. ISBN 0-521-81099-X.

[2] Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms . OUP. ISBN 0-19-920613-9.

[3] Bartlett, MS (1947). "El uso de transformaciones". Biometrics . 3 : 39–52 . doi : 10.2307/3001536 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]