Anscombe transforma

En estadística , la transformada de Anscombe , que recibe su nombre de Francis Anscombe , es una transformación estabilizadora de la varianza que transforma una variable aleatoria con distribución de Poisson en una con distribución gaussiana aproximadamente estándar . La transformada de Anscombe se utiliza ampliamente en imágenes con resolución limitada por fotones (astronomía, rayos X), donde las imágenes siguen de forma natural la ley de Poisson. Generalmente, la transformada de Anscombe se utiliza para preprocesar los datos con el fin de que la desviación estándar sea aproximadamente constante. A continuación, se utilizan algoritmos de eliminación de ruido diseñados para el marco del ruido gaussiano blanco aditivo ; la estimación final se obtiene aplicando una transformada inversa de Anscombe a los datos sin ruido.

Para la distribución de Poisson, la media${\displaystyle m}$y varianza${\displaystyle v}$no son independientes:${\displaystyle m=v}$. La transformación de Anscombe ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,}$

Su objetivo es transformar los datos de manera que la varianza se establezca aproximadamente en 1 para una media suficientemente grande; para una media de cero, la varianza sigue siendo cero.

Transforma datos de Poisson${\displaystyle x}$(con media${\displaystyle m}$) a datos aproximadamente gaussianos de media${\displaystyle 2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{m^{3/2}}}\right)}$ y desviación estándar${\displaystyle 1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)}$Esta aproximación se vuelve más precisa para valores mayores.${\displaystyle m}$, ^{[ 2 ]} como también se puede ver en la figura.

Para una variable transformada de la forma${\displaystyle 2{\sqrt {x+c}}}$, la expresión para la varianza tiene un término adicional${\displaystyle {\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}}$; se reduce a cero en${\displaystyle c={\tfrac {3}{8}}}$, que es precisamente la razón por la que se eligió este valor.

Cuando se utiliza la transformada de Anscombe en la eliminación de ruido (es decir, cuando el objetivo es obtener de${\displaystyle x}$una estimación de${\displaystyle m}$), también se necesita su transformada inversa para devolver los datos estabilizados en varianza y sin ruido.${\displaystyle y}$al rango original. Aplicando la inversa algebraica

${\displaystyle A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}}$

Por lo general, introduce un sesgo no deseado en la estimación de la media.${\displaystyle m}$, porque la transformada de raíz cuadrada hacia adelante no es lineal . A veces se utiliza la inversa asintóticamente insesgada ^{[ 1 ].}

${\displaystyle y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}}$

mitiga el problema del sesgo, pero este no es el caso en la imagen limitada por fotones, para la cual la inversa exacta sin sesgo dada por el mapeo implícito ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m}$

debe utilizarse. Una aproximación en forma cerrada de esta inversa exacta no sesgada es ^{[ 4 ].}

${\displaystyle y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-3}.}$

Existen muchas otras transformaciones posibles para estabilizar la varianza de la distribución de Poisson. Bar-Lev y Enis informan ^{[ 2 ]} sobre una familia de dichas transformaciones que incluye la transformación de Anscombe. Otro miembro de la familia es la transformación de Freeman-Tukey ^{[ 5 ].}

${\displaystyle A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,}$

Una transformación simplificada, obtenida como la primitiva del recíproco de la desviación estándar de los datos , es

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,}$

que, si bien no es tan bueno para estabilizar la varianza, tiene la ventaja de ser más fácil de entender. De hecho, a partir del método delta ,

${\displaystyle V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right)^{2}m=1}$.

Si bien la transformada de Anscombe es apropiada para datos de Poisson puros, en muchas aplicaciones los datos también presentan un componente gaussiano aditivo. Estos casos se tratan mediante una transformada de Anscombe generalizada ^{[ 6 ] y sus inversas asintóticamente insesgadas o exactamente insesgadas [ 7 ]} .

• Transformación estabilizadora de la varianza
• Transformación de Box-Cox

• Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001), "Procesamiento de imágenes y señales astronómicas: análisis del ruido, la información y la escala", Signal Processing Magazine, IEEE , vol.  18, n.º  2, págs. 30–40 , Bibcode : 2001ISPM...18...30S , doi : 10.1109/79.916319 , S2CID 13210703