Función Q de Marcum

Utilizando el hecho de que${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1}$, la función Q de Marcum generalizada puede definirse alternativamente como una integral finita como

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.}$

Sin embargo, es preferible tener una representación integral de la función Q de Marcum tal que (i) los límites de la integral sean independientes de los argumentos de la función, (ii) y que los límites sean finitos, (iii) y que el integrando sea una función gaussiana de estos argumentos. Para valores enteros positivos de${\displaystyle \nu =n}$, dicha representación viene dada por la integral trigonométrica ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

dónde

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,}$

y la proporción${\displaystyle \zeta =a/b}$es una constante.

Para cualquier real${\displaystyle \nu >0}$, dicha integral trigonométrica finita viene dada por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

dónde${\displaystyle H_{n}(a,b)}$es como se definió anteriormente,${\displaystyle \zeta =a/b}$y el término de corrección adicional viene dado por

${\displaystyle C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left[-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.}$

Para valores enteros de${\displaystyle \nu }$, el término de corrección${\displaystyle C_{\nu }(a,b)}$tienden a desaparecer.

• La función Q de Marcum generalizada${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$está aumentando estrictamente en${\displaystyle \nu }$y${\displaystyle a}$a pesar de${\displaystyle a\geq 0}$y${\displaystyle b,\nu >0}$y está disminuyendo estrictamente en${\displaystyle b}$a pesar de${\displaystyle a,b\geq 0}$y${\displaystyle \nu >0.}$^{[ 5 ]}
• La función${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$es logarítmicamente cóncava en${\displaystyle [1,\infty )}$a pesar de${\displaystyle a,b\geq 0.}$^{[ 5 ]}
• La función${\displaystyle b\mapsto Q_{\nu }(a,b)}$es estrictamente logarítmicamente cóncava en${\displaystyle (0,\infty )}$a pesar de${\displaystyle a\geq 0}$y${\displaystyle \nu >1}$, lo que implica que la función Q de Marcum generalizada satisface la propiedad de que lo nuevo es mejor que lo usado. ^{[ 6 ]}
• La función${\displaystyle a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)}$es logarítmicamente cóncava en${\displaystyle [0,\infty )}$a pesar de${\displaystyle b,\nu >0.}$^{[ 5 ]}

• La función Q generalizada de Marcum de orden${\displaystyle \nu >0}$puede representarse utilizando la función Gamma incompleta como ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},}$

dónde${\displaystyle \gamma (s,x)}$es la función Gamma incompleta inferior . Esto se suele llamar la representación canónica de la${\displaystyle \nu }$Función Q generalizada de Marcum de orden -ésimo.

• La función Q generalizada de Marcum de orden${\displaystyle \nu >0}$También se puede representar utilizando polinomios de Laguerre generalizados como ^{[ 9 ].}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\nu },}$

dónde${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )}$es el polinomio de Laguerre generalizado de grado${\displaystyle k}$y de orden${\displaystyle \alpha }$.

• La función Q de Marcum generalizada de orden${\displaystyle \nu >0}$también se pueden representar como expansiones en serie de Neumann ^{[ 4 ] [ 8 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),}$

${\displaystyle 1-Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),}$

donde las sumas están en incrementos de uno. Tenga en cuenta que cuando${\displaystyle \alpha }$asume un valor entero, tenemos${\displaystyle I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }(ab)}$.

• Para valores semi-enteros no negativos${\displaystyle \nu =n+1/2}$, tenemos una expresión de forma cerrada para la función Q de Marcum generalizada como ^{[ 8 ] [ 10 ]}

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right]+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k-1/2}I_{k-1/2}(ab),}$

dónde${\displaystyle \mathrm {erfc} (\cdot )}$es la función de error complementaria . Dado que las funciones de Bessel con parámetro semi-entero tienen expansiones de suma finita como ^{[ 4 ]}

${\displaystyle I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(n-k)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\right],}$

dónde${\displaystyle n}$es un entero no negativo, podemos representar exactamente la función Q de Marcum generalizada con un parámetro semi-entero. Más precisamente, tenemos ^{[ 4 ]}

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)=Q(b-a)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k!(i-k-1)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{-(a-b)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{-(a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],}$

para enteros no negativos${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle Q(\cdot )}$es la función Q gaussiana . Alternativamente, también podemos expresar de forma más compacta las funciones de Bessel con semi-entero como suma de funciones seno y coseno hiperbólicas: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2z}{\pi }}}\left[g_{n}(z)\sinh(z)+g_{-n-1}(z)\cosh(z)\right],}$

dónde${\displaystyle g_{0}(z)=z^{-1}}$,${\displaystyle g_{1}(z)=-z^{-2}}$, y${\displaystyle g_{n-1}(z)-g_{n+1}(z)=(2n+1)z^{-1}g_{n}(z)}$para cualquier valor entero de${\displaystyle n}$.

• Integrando por partes, podemos demostrar que la función Q de Marcum generalizada satisface la siguiente relación de recurrencia ^{[ 8 ] [ 10 ].}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).}$

• La fórmula anterior se generaliza fácilmente como ^{[ 10 ].}

${\displaystyle Q_{\nu -n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),}$

${\displaystyle Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k}I_{\nu +k}(ab),}$

para entero positivo${\displaystyle n}$. La recurrencia anterior puede utilizarse para definir formalmente la función Q de Marcum generalizada para valores negativos${\displaystyle \nu }$. Tomando${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1}$y${\displaystyle Q_{-\infty }(a,b)=0}$para${\displaystyle n=\infty }$, obtenemos la representación en serie de Neumann de la función Q generalizada de Marcum.

• La relación de recurrencia de tres términos relacionada viene dada por ^{[ 7 ].}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{\nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,}$

dónde

${\displaystyle c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu }(ab)}{I_{\nu +1}(ab)}}.}$

Podemos eliminar la aparición de la función de Bessel para obtener la relación de recurrencia de tercer orden ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu }(a,b)-{\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).}$

• Otra relación de recurrencia, que la relaciona con sus derivados, viene dada por

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),}$

${\displaystyle Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b).}$

• La función generadora ordinaria de${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$para integral${\displaystyle \nu }$es ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac {t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},}$

dónde${\displaystyle |t|<1.}$

• Utilizando las dos representaciones de la serie de Neumann, podemos obtener la siguiente relación de simetría para integrales positivos.${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{0}(ab)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k}(ab)\right].}$

En particular, para${\displaystyle n=1}$tenemos

${\displaystyle Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}(ab).}$

Algunos valores específicos de la función Marcum-Q son ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,+\infty )=0,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu ,b^{2}/2)}{\Gamma (\nu )}},}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1,}$
• Para${\displaystyle a=b}$, al restar las dos formas de representaciones de series de Neumann, tenemos ^{[ 10 ]}

${\displaystyle Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],}$

que cuando se combina con la fórmula recursiva da

${\displaystyle Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n-1}I_{k}(a^{2}),}$

${\displaystyle Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]-e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),}$

para cualquier entero no negativo${\displaystyle n}$.

• Para${\displaystyle \nu =1/2}$, utilizando la definición integral básica de la función Q generalizada de Marcum, tenemos ^{[ 8 ] [ 10 ]}

${\displaystyle Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

• Para${\displaystyle \nu =3/2}$, tenemos

${\displaystyle Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh(ab)}{a}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• Para${\displaystyle \nu =5/2}$tenemos

${\displaystyle Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• Arrogante${\displaystyle \nu }$ser arreglado y${\displaystyle ab}$grande, deja${\displaystyle \zeta =a/b>0}$, entonces la función generalizada de Marcum-Q tiene la siguiente forma asintótica ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n},}$

dónde${\displaystyle \psi _{n}}$es dado por

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n}(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.}$

Las funciones${\displaystyle \phi _{n}}$y${\displaystyle A_{n}}$son dados por

${\displaystyle \phi _{n}=\left[{\frac {(b-a)^{2}}{2ab}}\right]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n,{\frac {(b-a)^{2}}{2}}\right),}$

${\displaystyle A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu -n)}}.}$

La función${\displaystyle A_{n}(\nu )}$satisface la recursión

${\displaystyle A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2}-4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu ),}$

para${\displaystyle n\geq 0}$y${\displaystyle A_{0}(\nu )=1.}$

• En el primer término de la aproximación asintótica anterior, tenemos

${\displaystyle \phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{b-a}}\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right).}$

Por lo tanto, suponiendo${\displaystyle b>a}$, la aproximación asintótica del primer término de la función generalizada de Marcum-Q es ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(b-a),}$

dónde${\displaystyle Q(\cdot )}$es la función Q gaussiana . Aquí${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$como${\displaystyle a\uparrow b.}$

Para el caso en que${\displaystyle a>b}$, tenemos ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(a-b).}$

Aquí también${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$como${\displaystyle a\downarrow b.}$

• La derivada parcial de${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$con respecto a${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$está dado por ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu -1}(ab).}$

Podemos relacionar las dos derivadas parciales como

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.}$

• La n -ésima derivada parcial de${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$con respecto a sus argumentos viene dado por ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2})^{-k}}{k!(n-2k)!}}\sum _{p=0}^{n-k}(-1)^{p}{\binom {n-k}{p}}Q_{\nu +p}(a,b),}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }}{2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=[n/2]}^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(n-k)!(2k-n)!}}\sum _{p=0}^{k-1}{\binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).}$

• La función generalizada de Marcum-Q satisface una desigualdad de tipo Turán ^{[ 5 ].}

${\displaystyle Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu +1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)}$

a pesar de${\displaystyle a\geq b>0}$y${\displaystyle \nu >1}$.

Se pueden obtener varios límites superiores e inferiores de la función generalizada de Marcum-Q utilizando la monotonicidad y la concavidad logarítmica de la función.${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$y el hecho de que tenemos una expresión de forma cerrada para${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$cuando${\displaystyle \nu }$tiene un valor semi-entero.

Dejar${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}}$y${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}}$denotan el par de operadores de redondeo semi-entero que mapean un número real${\displaystyle x}$a su semi-entero impar más cercano a la izquierda y a la derecha, respectivamente, según las relaciones

${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}=\lfloor x-0.5\rfloor +0.5}$

${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}=\lceil x+0.5\rceil -0.5}$

dónde${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$y${\displaystyle \lceil x\rceil }$denotan las funciones de piso y techo enteras.

• La monotonicidad de la función${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$a pesar de${\displaystyle a\geq 0}$y${\displaystyle b>0}$nos da la siguiente cota simple ^{[ 14 ] [ 8 ] [ 15 ]}

${\displaystyle Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu }(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b).}$

Sin embargo, el error relativo de esta cota no tiende a cero cuando${\displaystyle b\to \infty }$. ^{[ 5 ]} Para valores enteros de${\displaystyle \nu =n}$, este límite se reduce a

${\displaystyle Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).}$

Una muy buena aproximación de la función Q generalizada de Marcum para valores enteros.${\displaystyle \nu =n}$se obtiene tomando la media aritmética del límite superior e inferior ^{[ 15 ]}

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.}$

• Se puede obtener una cota más ajustada explotando la log-concavidad de${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$en${\displaystyle [1,\infty )}$como ^{[ 5 ]}

${\displaystyle Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _{2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu }(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b)^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},}$

dónde${\displaystyle \nu _{1}=\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}$y${\displaystyle \nu _{2}=\lceil \nu \rceil _{0.5}}$para${\displaystyle \nu \geq 1.5}$. La firmeza de este límite mejora a medida que${\displaystyle a}$o${\displaystyle \nu }$aumenta. El error relativo de esta cota converge a 0 a medida que${\displaystyle b\to \infty }$. ^{[ 5 ]} Para valores enteros de${\displaystyle \nu =n}$, este límite se reduce a

${\displaystyle {\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.}$

Utilizando la representación integral trigonométrica para valores enteros${\displaystyle \nu =n}$, se puede obtener la siguiente cota de Cauchy-Schwarz ^{[ 3 ]}

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,}$

dónde${\displaystyle \zeta =a/b>0}$.

Para fines analíticos, a menudo es útil tener límites en forma exponencial simple, aunque no sean los límites más ajustados que se puedan lograr.${\displaystyle \zeta =a/b>0}$, uno de esos límites para valores enteros ${\displaystyle \nu =n}$se da como ^{[ 16 ] [ 3 ]}

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

Cuando${\displaystyle n=1}$, el límite se simplifica a dar

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.}$

Otro límite de este tipo obtenido mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz se da como ^{[ 3 ].}

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

Límites de tipo Chernoff para la función Q de Marcum generalizada, donde${\displaystyle \nu =n}$es un número entero, está dado por ^{[ 16 ] [ 3 ]}

${\displaystyle (1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n(a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.}$

donde el parámetro de Chernoff${\displaystyle (0<\lambda <1/2)}$tiene valor óptimo${\displaystyle \lambda _{0}}$de

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).}$

La función Marcum-Q de primer orden puede aproximarse semilinealmente mediante ^{[ 17 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_{1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}}$