Función de error

La función de error es una función entera ; no tiene singularidades (excepto en el infinito) y su desarrollo de Taylor siempre converge. Para${\displaystyle x\gg 1}$Sin embargo, la cancelación de los términos principales hace que la expansión de Taylor sea poco práctica.

La integral definitoria no puede evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales (véase el teorema de Liouville ), sino mediante el desarrollo del integrando.${\displaystyle e^{-z^{2}}}$en su serie de Maclaurin , integrando término por término, ^{[ 5 ]} y utilizando el hecho de que${\displaystyle \operatorname {erf} (0)=0}$, se obtiene la serie de Maclaurin de la función de error como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$ lo cual se cumple para cada número complejo${\displaystyle z}$. Los términos del denominador forman la secuencia A007680 en la OEIS . Este es un caso especial de la función de Kummer :

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\bigg (}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2}{\bigg )}.}$

Para el cálculo iterativo de la serie anterior, puede resultar útil la siguiente formulación alternativa: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}},\end{aligned}}}$$ porque

${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$

expresa el multiplicador para convertir el${\displaystyle k}$-ésimo término en el${\displaystyle (k+1)}$-ésimo término (considerando${\displaystyle z}$como primer término).

La función de error imaginario tiene una serie de Maclaurin similar: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$ lo cual se cumple para cada número complejo${\displaystyle z}$.

La derivada de la función de error se deduce inmediatamente de su definición: $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$ A partir de esto, la derivada de la función de error imaginaria también es inmediata: $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$Las derivadas de orden superior vienen dadas por $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}{\big (}e^{-z^{2}}{\big )},}$$ donde el${\displaystyle H_{k}}$son los polinomios de Hermite de los físicos . ^{[ 6 ]}

Una antiderivada de la función de error, obtenible mediante integración por partes , es $${\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$ Una antiderivada de la función de error imaginaria, también obtenible mediante integración por partes, es $${\displaystyle \int \operatorname {erfi} (z)dz=z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$

Una expansión que converge más rápidamente para todos los valores reales de${\displaystyle x}$que una expansión de Taylor ^{[ 7 ]} se obtiene utilizando el teorema de Bürmann : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {sgn} }$es la función signo . Al conservar solo los dos primeros coeficientes y elegir${\displaystyle c_{1}=31/200}$y${\displaystyle c_{2}=-341/8000}$, la aproximación resultante muestra su mayor error relativo en${\displaystyle x=\pm 1.40587}$donde es menor que${\displaystyle 0.0034361}$: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

Dado un número complejo${\displaystyle z}$No existe un único número complejo.${\displaystyle w}$satisfactorio${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$, por lo que una verdadera función inversa sería multivaluada. Sin embargo, para${\displaystyle -1<x<1}$, existe un único número real denotado${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$satisfactorio

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x.}$

La función de error inversa se define generalmente con dominio${\displaystyle (-1,1)}$y está restringido a este dominio en muchos sistemas de álgebra computacional . Sin embargo, puede extenderse al disco.${\displaystyle |z|<1}$del plano complejo, utilizando la serie de Maclaurin ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$ dónde${\displaystyle c_{0}=1}$y $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

Así pues, tenemos la expansión en serie (los factores comunes se han cancelado en los numeradores y denominadores):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(Después de la cancelación, los valores del numerador y del denominador son (secuencia A092676 en el OEIS ) y (secuencia A092677 en el OEIS ) respectivamente; sin cancelación, los términos del numerador son valores en (secuencia A002067 en el OEIS ) .) El valor de la función de error en${\displaystyle \pm \infty }$es igual a${\displaystyle \pm 1}$.

Para${\displaystyle |z|<1}$, tenemos${\displaystyle \operatorname {erf} (\operatorname {erf} ^{-1}(z))=z}$.

La función de error complementaria inversa se define como $${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$$ Verdadero${\displaystyle x}$, hay un número real único${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$satisfactorio${\displaystyle \operatorname {erfi} (\operatorname {erfi} ^{-1}(x))=x}$La función de error imaginario inversa se define como${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$. ^{[ 10 ]}

Para cualquier real${\displaystyle x}$El método de Newton se puede utilizar para calcular${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$y para${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$La siguiente serie de Maclaurin converge:

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

dónde${\displaystyle c_{k}}$se define como se indicó anteriormente.

Una útil expansión asintótica de la función de error complementaria (y por lo tanto también de la función de error) para valores reales grandes${\displaystyle x}$es $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle (2n-1)!!}$es el doble factorial de${\displaystyle 2n-1}$, es decir, el producto de todos los números impares hasta${\displaystyle 2n-1}$Esta serie diverge para cada finito${\displaystyle x}$y su significado como expansión asintótica es que para cualquier entero${\displaystyle N\geq 1}$uno tiene

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x),}$

donde el resto es

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}\,(2N-1)!!}{{\sqrt {\pi }}\cdot 2^{N-1}}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt,}$

lo cual se deduce fácilmente por inducción, escribiendo

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-{\frac {1}{2t}}\,{\frac {d}{dt}}e^{-t^{2}}}$

y la integración por partes. El comportamiento asintótico del término restante es

${\displaystyle R_{N}(x)=O{\Big (}x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}{\Big )}}$

como${\displaystyle x\to \infty }$Esto se puede encontrar mediante

${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,dt\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,dt\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$

Para valores suficientemente grandes de${\displaystyle x}$, solo se necesitan los primeros términos de esta expansión asintótica para obtener una buena aproximación de${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$(mientras que para valores no demasiado grandes de${\displaystyle x}$(La expansión de Taylor anterior en 0 proporciona una convergencia muy rápida).

Laplace encontró una expansión en fracción continua de la función de error complementaria : ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}}$$ dónde${\displaystyle a_{m}={\frac {m}{2}}}$.

La serie factorial inversa

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (z)&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{(n)}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$

converge para${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$. Aquí

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)\left({\frac {1}{2}}\right)^{(k)}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k){\frac {(2k-1)!!}{2^{k}}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle z^{(n)}}$denota el factorial ascendente y${\displaystyle s(n,k)}$denota un número de Stirling con signo de primera especie . ^{[ 13 ] [ 14 ]} La serie de Taylor se puede escribir en términos del doble factorial :

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.}$

Abramowitz y Stegun proporcionan varias aproximaciones de distinta precisión (ecuaciones 7.1.25–28). Esto permite elegir la aproximación más rápida y adecuada para una aplicación determinada. En orden de precisión creciente, son: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$ (error máximo:5 × 10 ⁻⁴ )

donde a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$ (error máximo:2,5 × 10 ⁻⁵ )

donde p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = −0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$ (error máximo:3 × 10 ⁻⁷ )

donde a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$ (error máximo:1,5 × 10 ⁻⁷ )

donde p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = −0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = −1,453152027 , a ₅ = 1,061405429

Se puede mejorar la precisión de la aproximación A&S extendiéndola con tres parámetros adicionales, $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}+a_{6}t^{6}+a_{7}t^{7}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+p_{1}x+p_{2}x^{2}}}}$$ donde p1 = 0,406742016006509, p2 = 0,0072279182302319, a1 = 0,316879890481381, a2 = -0,138329314150635, a3 = 1,08680830347054, a4 ​​= -1,11694155120396, a5 = 1,20644903073232, a6 = -0,393127715207728, a7 = 0,0382613542530727. El error máximo de esta aproximación es aproximadamente2 × 10 ⁻⁹ . Los parámetros se obtienen ajustando la aproximación extendida a los valores exactos de la función de error utilizando el siguiente código Python.

Todas estas aproximaciones son válidas para x ≥ 0. Para usar estas aproximaciones para x negativo , use el hecho de que erf( x ) es una función impar, por lo que erf( x ) = −erf(− x ) .

Los límites exponenciales y una aproximación exponencial pura para la función de error complementaria se dan en ^{[ 15 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&&x>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} (x)&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&&x>0.\end{aligned}}}$$

Lo anterior se ha generalizado a sumas de N exponenciales ^{[ 16 ]} con una precisión creciente en términos de N de modo que erfc( x ) puede aproximarse o acotarse con precisión por 2 Q̃ ( √ 2 x ) , donde $${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$ En particular, existe una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos {( a _n , b _n )} ^N _{n = 1} que producen una aproximación minimax o una cota para la función Q estrechamente relacionada : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) , o Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) para x ≥ 0 . Los coeficientes {( a _n , b _n )} ^N _{n = 1} para muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y cotas hasta N = 25 se han publicado en acceso abierto como un conjunto de datos completo. ^{[ 17 ]}

Karagiannidis y Lioumpas (2007) dan una aproximación precisa de la función de error complementaria para x ∈ [0,∞) , ^{[ 18 ]} quienes demostraron, para la elección apropiada de parámetros { A , B }, que $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$ Determinaron { A , B } = {1,98,1,135} , lo que proporcionó una buena aproximación para todo x ≥ 0 . También se dispone de coeficientes alternativos para ajustar la precisión a una aplicación específica o transformar la expresión en una cota ajustada. ^{[ 19 ]}

Un límite inferior de un solo término es ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$ donde el parámetro β puede elegirse para minimizar el error en el intervalo de aproximación deseado.

Otra aproximación la proporciona Sergei Winitzki utilizando sus "aproximaciones globales de Padé": ^{[ 21 ] [ 22 ] : 2–3}$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ dónde $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$ Está diseñado para ser muy preciso en las proximidades de 0 e infinito, y el error relativo es menor que 0,00035 para todos los valores reales de x . El uso del valor alternativo a ≈ 0,147 reduce el error relativo máximo a aproximadamente 0,00013. ^{[ 23 ]}

La aproximación "global de Padé" extendida, $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4+0.880877880079853x^{2}+0.144026670907584x^{4}+0.0077581300270021x^{6}}{\pi +0.786235558186528x^{2}+0.128368576906837x^{4}+0.00773380006014367x^{6}}}\right)}}\,,}$$ proporciona un error máximo de aproximadamente2 × 10 ⁻⁹ , como lo demuestra el siguiente script de Python.

La aproximación de Winitzki se puede invertir para obtener una aproximación de la función de error inversa: $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

Una aproximación con un error máximo de1,2 × 10 ⁻⁷ para cualquier argumento real es: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\begin{cases}1-\tau ,&x\geq 0\\\tau -1,&x<0\end{cases}}\\\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\\t&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}\end{aligned}}}$$

Una aproximación de${\displaystyle \operatorname {erfc} }$con un error relativo máximo menor que${\displaystyle 2^{-53}}$${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$en valor absoluto es: ^{[ 25 ]} para${\displaystyle x\geq 0}$,$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$ y para${\displaystyle x<0}$$${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$

Se puede realizar una aproximación sencilla para argumentos de valor real mediante funciones hiperbólicas : $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$ lo que mantiene la diferencia absoluta${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$.

Dado que la función de error y la función Q gaussiana están estrechamente relacionadas a través de la identidad${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=2Q({\sqrt {2}}x)}$o equivalentemente${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$Los límites desarrollados para la función Q pueden adaptarse para aproximar la función de error complementaria. Un par de límites inferior y superior ajustados para la función Q gaussiana para argumentos positivos.${\displaystyle x\in [0,\infty )}$fue introducido por Abreu (2012) ^{[ 26 ]} basándose en una expresión algebraica simple con solo dos términos exponenciales: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\geq 0\\{\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)&\geq {\frac {1}{12}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\&\leq {\frac {1}{50}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\{\frac {1}{25}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{x+1}}e^{-x^{2}}\geq \operatorname {erfc} (x)&\geq {\frac {1}{6}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}}\end{aligned}}}$$

Estos límites provienen de una forma unificada.$${\displaystyle Q_{\mathrm {B} }(x;a,b)={\frac {\exp(-x^{2})}{a}}+{\frac {\exp(-x^{2}/2)}{b(x+1)}},}$$donde los parámetros${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se seleccionan para garantizar las propiedades de delimitación: para el límite inferior,${\displaystyle a_{\mathrm {L} }=12}$y${\displaystyle b_{\mathrm {L} }={\sqrt {2\pi }}}$y para el límite superior,${\displaystyle a_{\mathrm {U} }=50}$y${\displaystyle b_{\mathrm {U} }=2}$Estas expresiones mantienen la simplicidad y la precisión, proporcionando un equilibrio práctico entre exactitud y facilidad de cálculo. Son particularmente valiosas en contextos teóricos, como la teoría de la comunicación en canales con desvanecimiento, donde ambas funciones aparecen con frecuencia. Además, los límites originales de la función Q pueden extenderse a${\displaystyle Q^{n}(x)}$para enteros positivos${\displaystyle n}$a través del teorema del binomio , lo que sugiere una adaptabilidad potencial para potencias de${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$, aunque esto se requiere con menos frecuencia en aplicaciones de funciones de error.

La función de error complementaria , denotada por erfc , se define como $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt\\&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x),\end{aligned}}}$$ que también define erfcx , la función de error complementaria escalada ^{[ 27 ]} (que puede usarse en lugar de erfc para evitar el desbordamiento aritmético ^{[ 27 ] [ 28 ]} ). Otra forma de erfc x para x ≥ 0 se conoce como la fórmula de Craig, en honor a su descubridor: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$ Esta expresión es válida solo para valores positivos de x , pero puede usarse junto con erfc( x ) = 2 − erfc(− x ) para obtener erfc( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito. Una extensión de esta expresión para el erfc de la suma de dos variables no negativas es ^{[ 30 ].}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$

La función de error imaginaria , denotada por erfi , se define como $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (x)&=-i\operatorname {erf} (ix)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$ donde D ( x ) es la función de Dawson (que se puede usar en lugar de erfi para evitar el desbordamiento aritmético ^{[ 27 ]} ).

A pesar del nombre "función de error imaginaria", erfi( x ) es real cuando x es real.

Cuando se evalúa la función de error para argumentos complejos arbitrarios z , la función de error compleja resultante se suele analizar en forma escalada como la función de Faddeeva : $${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$$

La función de error es esencialmente idéntica a la función de distribución acumulativa normal estándar , denotada Φ , también llamada norm( x ) por algunos lenguajes de software , ya que solo difieren en el escalado y la traslación. De hecho, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$ o reorganizado para erf y erfc : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi {\left(-x{\sqrt {2}}\right)}\\&=2\left(1-\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}\right).\end{aligned}}}$$

En consecuencia, la función de error también está estrechamente relacionada con la función Q , que es la probabilidad de cola de la distribución normal estándar. La función Q se puede expresar en términos de la función de error como: $${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$$

La inversa de Φ se conoce como la función cuantil normal o función probit y puede expresarse en términos de la función de error inversa como $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$$

La función de distribución acumulada normal estándar se utiliza con mayor frecuencia en probabilidad y estadística, mientras que la función de error se utiliza con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función de error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler y también puede expresarse como una función hipergeométrica confluente (función de Kummer): $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$$

Tiene una expresión sencilla en términos de la integral de Fresnel .

En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta , $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn}(x)\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\pi }}}\gamma {\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}.}$$sgn( x ) es la función signo .

Las integrales iteradas de la función de error complementaria se definen en ^{[ 31 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)&=\int _{z}^{\infty }i^{n-1}\!\operatorname {erfc} (\zeta )\,d\zeta \\[6pt]i^{0}\!\operatorname {erfc} (z)&=\operatorname {erfc} (z)\\i^{1}\!\operatorname {erfc} (z)&=\operatorname {ierfc} (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} (z)\\i^{2}\!\operatorname {erfc} (z)&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} (z)-2z\operatorname {ierfc} (z)\right)\\\end{aligned}}}$$

La fórmula general de recurrencia es $${\displaystyle 2n\cdot i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)=i^{n-2}\!\operatorname {erfc} (z)-2z\cdot i^{n-1}\!\operatorname {erfc} (z)}$$

Tienen la serie Power $${\displaystyle i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$$ de donde se derivan las propiedades de simetría $${\displaystyle i^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\!\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$$ y $${\displaystyle i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$$

• En los sistemas operativos compatibles con POSIX , el encabezado math.hdeberá declarar y la biblioteca matemática libmdeberá proporcionar las funciones erfy erfc( doble precisión ), así como sus contrapartes de precisión simple y precisión extendidaerff , erfly erfcf, erfcl. ^{[ 32 ]}
• La biblioteca científica GNU proporciona funciones de error escaladas erf, erfcy . ^{[ 33 ]}log(erf)

• libcerf, biblioteca numérica C para funciones de error complejas, proporciona las funciones complejas cerf, cerfc, cerfcxy las funciones reales erfi, erfcxcon una precisión aproximada de 13 a 14 dígitos, basadas en la función Faddeeva tal como se implementa en el paquete MIT Faddeeva.