Función de Dawson

En matemáticas , la función de Dawson o integral de Dawson ^{[ 1 ]} (llamada así en honor a HG Dawson ^{[ 2 ]} ) es la transformada seno de Fourier-Laplace unilateral de la función gaussiana.

La función de Dawson se define como: $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$ también se denomina como${\displaystyle F(x)}$o${\displaystyle D(x),}$ o alternativamente $${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

La función de Dawson es la transformada seno de Fourier-Laplace unilateral de la función gaussiana , $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

Está estrechamente relacionada con la función de error erf, ya que

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

donde erfi es la función de error imaginaria, erfi( x ) = − i erf( ix ). De manera similar, $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$ en términos de la función de error real, erf.

En términos de erfi o de la función Faddeeva${\displaystyle w(z),}$La función de Dawson se puede extender a todo el plano complejo : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$ lo cual se simplifica a $${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$$${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$ verdadero${\displaystyle x.}$

Para${\displaystyle |x|}$cerca de cero, F ( x ) ≈ x . Para${\displaystyle |x|}$grande, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Más específicamente, cerca del origen tiene el desarrollo en serie $${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$ mientras que para grandes${\displaystyle x}$tiene la expansión asintótica$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

Más precisamente $${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$ dónde${\displaystyle n!!}$es el doble factorial .

${\displaystyle F(x)}$satisface la ecuación diferencial$${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$ con la condición inicial${\displaystyle F(0)=0.}$En consecuencia, tiene extremos para $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$ lo que resulta en x  =  ±0,92413887... ( OEIS : A133841  ), F ( x )  =  ±0,54104422... ( OEIS : A133842  ).

A continuación se presentan los puntos de inflexión para $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$ lo que resulta en x  =  ±1,50197526... ( OEIS : A133843  ), F ( x )  =  ±0,42768661... ( OEIS : A245262  ). (Excepto por el punto de inflexión trivial en${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle F(x)=0.}$)

La transformada de Hilbert de la gaussiana se define como $${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PV denota el valor principal de Cauchy y nos restringimos a valores reales.${\displaystyle y.}$${\displaystyle H(y)}$puede relacionarse con la función de Dawson de la siguiente manera. Dentro de una integral de valor principal, podemos tratar${\displaystyle 1/u}$como una función o distribución generalizada, y utilice la representación de Fourier. $${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

Con${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$utilizamos la representación exponencial de${\displaystyle \sin(ku)}$y completar el cuadrado con respecto a${\displaystyle x}$encontrar $${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

Podemos desplazar la integral sobre${\displaystyle x}$al eje real, y da${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$ De este modo $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

Completamos el cuadrado con respecto a${\displaystyle k}$y obtener $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

Cambiamos las variables a${\displaystyle u=ik/2+y:}$$${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

La integral se puede realizar como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado se obtiene $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$ dónde${\displaystyle F(y)}$es la función de Dawson tal como se definió anteriormente.

La transformada de Hilbert de${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$También está relacionada con la función de Dawson. Lo vemos con la técnica de diferenciar dentro del signo integral. Sea $${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Introducir $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

El${\displaystyle n}$la derivada es $${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Así encontramos $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

Primero se realizan las derivadas, luego se evalúa el resultado en${\displaystyle a=1.}$Un cambio de variable también da${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$Desde${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$podemos escribir${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$dónde${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$son polinomios. Por ejemplo,${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$Alternativamente,${\displaystyle H_{n}}$se puede calcular utilizando la relación de recurrencia (para${\displaystyle n\geq 0}$) $${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

• Lista de funciones matemáticas

• gsl_sf_dawson en la Biblioteca Científica GNU
• libcerf , una biblioteca numérica en C para funciones de error complejas, proporciona una función voigt(x, sigma, gamma) con una precisión aproximada de 13 a 14 dígitos. Se basa en la función Faddeeva , tal como está implementada en el paquete MIT Faddeeva.
• Integral de Dawson (en Mathworld)
• Funciones de error archivadas el 1 de noviembre de 2019 en Wayback Machine .