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Articulo de referencia

Función gamma incompleta

La función gamma incompleta superior para algunos valores de s: 0 (azul), 1 (rojo), 2 (verde), 3 (naranja), 4 (púrpura). Representación gráfica de la función gamma incompleta re...

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La función gamma incompleta superior para algunos valores de s: 0 (azul), 1 (rojo), 2 (verde), 3 (naranja), 4 (púrpura).
Representación gráfica de la función gamma incompleta regularizada Q(2,z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1.
Representación gráfica de la función gamma incompleta regularizada Q(2,z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1.

En matemáticas , las funciones gamma incompletas superior e inferior son tipos de funciones especiales que surgen como soluciones a diversos problemas matemáticos, como ciertas integrales .

Sus nombres respectivos derivan de sus definiciones integrales, que se definen de forma similar a la función gamma, pero con límites integrales diferentes o "incompletos". La función gamma se define como una integral de cero a infinito. Esto contrasta con la función gamma incompleta inferior, que se define como una integral de cero a un límite superior variable. De manera similar, la función gamma incompleta superior se define como una integral de un límite inferior variable a infinito.

Definición

La función gamma incompleta superior se define como: Γ(s,incógnita)=∫incógnita∞ts−1mi−tdt,{\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,} mientras que la función gamma incompleta inferior se define como: γ(s,incógnita)=∫0incógnitats−1mi−tdt.{\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.} En ambos casos, s es un parámetro complejo, de modo que la parte real de s es positiva.

Propiedades

Mediante la integración por partes encontramos las relaciones de recurrencia.Γ(s+1,incógnita)=sΓ(s,incógnita)+incógnitasmi−incógnita{\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}} y γ(s+1,incógnita)=sγ(s,incógnita)−incógnitasmi−incógnita.{\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.} Dado que la función gamma ordinaria se define como Γ(s)=∫0∞ts−1mi−tdt{\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt} tenemos Γ(s)=Γ(s,0)=límiteincógnita→∞γ(s,incógnita){\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} y γ(s,incógnita)+Γ(s,incógnita)=Γ(s).{\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}

Continuación de valores complejos

La función gamma incompleta inferior y la función gamma incompleta superior, definidas anteriormente para s y x reales positivos , pueden desarrollarse en funciones holomorfas , con respecto a x y s , definidas para casi todas las combinaciones de x y s complejos . [ 1 ] El análisis complejo muestra cómo las propiedades de las funciones gamma incompletas reales se extienden a sus contrapartes holomorfas.

Función gamma incompleta inferior

Extensión holomorfa

La aplicación repetida de la relación de recurrencia para la función gamma incompleta inferior conduce a la expansión en serie de potencias : [ 2 ]γ(s,incógnita)=∑k=0∞incógnitasmi−incógnitaincógnitaks(s+1)⋯(s+k)=incógnitasΓ(s)mi−incógnita∑k=0∞incógnitakΓ(s+k+1).{\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.} Dado el rápido crecimiento en valor absoluto de Γ( z + k ) cuando k → ∞ , y el hecho de que el recíproco de Γ( z ) es una función entera , los coeficientes en la suma más a la derecha están bien definidos, y localmente la suma converge uniformemente para todos los complejos s y x . Por un teorema de Weierstrass , [ 3 ] la función límite, a veces denotada comoγ∗{\displaystyle \gamma ^{*}}, [ 4 ]γ∗(s,z):=mi−z∑k=0∞zkΓ(s+k+1){\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} es entera con respecto a z (para s fijo ) y s (para z fijo ), [ 1 ] y, por lo tanto, holomorfa en C × C por el teorema de Hartogs . [ 5 ] Por lo tanto, la siguiente descomposición [ 1 ]γ(s,z)=zsΓ(s)γ∗(s,z),{\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),} extiende la función gamma incompleta inferior real como una función holomorfa , tanto conjunta como separadamente en z y s . Se deduce de las propiedades dezs{\displaystyle z^{s}}y la función Γ , que los dos primeros factores capturan las singularidades deγ(s,z){\displaystyle \gamma (s,z)}(en z = 0 o s un entero no positivo), mientras que el último factor contribuye a sus ceros.

Multivaloración

El logaritmo complejo log z = log | z | + i arg z se determina salvo un múltiplo de 2 πi , lo que lo convierte en multivaluado . Las funciones que involucran el logaritmo complejo suelen heredar esta propiedad. Entre ellas se encuentran la potencia compleja y, dado que z s aparece en su descomposición, también la función γ .

La indeterminación de las funciones multivaluadas introduce complicaciones, ya que debe especificarse cómo seleccionar un valor. Las estrategias para abordar esto son:

  • (La forma más general) reemplazar el dominio C de las funciones multivaluadas por una variedad adecuada en C × C llamada superficie de Riemann . Si bien esto elimina la multivaluación, es necesario conocer la teoría subyacente; [ 6 ]
  • restringir el dominio de tal manera que una función multivaluada se descomponga en ramas univaluadas separadas , que pueden manejarse individualmente.

Las siguientes reglas pueden utilizarse para interpretar correctamente las fórmulas de esta sección. Salvo que se indique lo contrario, se asume lo siguiente:

Sectores

Los sectores en C con vértice en z = 0 suelen ser dominios apropiados para expresiones complejas. Un sector D consta de todos los z complejos que satisfacen z ≠ 0 y α − δ < arg z < α + δ con algún α y 0 < δ ≤ π . A menudo, α puede elegirse arbitrariamente y no se especifica. Si δ no se da, se asume que es π , y el sector es de hecho todo el plano C , con la excepción de una semirrecta que parte de z = 0 y apunta en la dirección de − α , que suele servir como corte de rama . Nota: En muchas aplicaciones y textos, α se toma implícitamente como 0, lo que centra el sector alrededor del eje real positivo.

Sucursales

En particular, existe un logaritmo holomorfo unívoco en cualquier sector D cuya parte imaginaria está acotada al intervalo ( α − δ , α + δ ) . Basándose en este logaritmo restringido, z s y las funciones gamma incompletas se reducen a funciones holomorfas unívocas en D (o C × D ), llamadas ramas de sus contrapartes multivaluadas en D. Si se añade un múltiplo de 2 π a α, se obtiene un conjunto diferente de ramas correlacionadas en el mismo conjunto D . Sin embargo, en cualquier contexto dado, se supone que α es fijo y todas las ramas involucradas están asociadas a él. Si | α | < δ , las ramas se denominan principales , porque son iguales a sus análogos reales en el eje real positivo. Nota: En muchas aplicaciones y textos, las fórmulas solo son válidas para las ramas principales.

Relación entre ramas

Los valores de las diferentes ramas tanto de la función de potencia compleja como de la función gamma incompleta inferior se pueden derivar entre sí mediante la multiplicación demi2πiks{\displaystyle e^{2\pi iks}}, [ 1 ] para k un entero adecuado.

Comportamiento cerca del punto de ramificación

La descomposición anterior muestra además que γ se comporta cerca de z = 0 asintóticamente como: γ(s,z)≍zsΓ(s)γ∗(s,0)=zsΓ(s)/Γ(s+1)=zs/s.{\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}

Para valores reales positivos de x , y y s , x y /y → 0 , cuando ( x , y ) → (0, s ) . Esto parece justificar establecer γ ( s , 0) = 0 para s real > 0 . Sin embargo, las cosas son algo diferentes en el ámbito complejo. Solo si (a) la parte real de s es positiva, y (b) los valores u v se toman de un conjunto finito de ramas, se garantiza que convergen a cero cuando ( u , v ) → (0, s ) , y también γ ( u , v ) . En una sola rama de γ ( b ) se cumple naturalmente, por lo que γ ( s , 0) = 0 para s con parte real positiva es un límite continuo . También hay que tener en cuenta que tal continuación no es en absoluto analítica .

Relaciones algebraicas

Todas las relaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales observadas por la función real γ ( s , z ) también se cumplen para su contraparte holomorfa. Esto es consecuencia del teorema de identidad , que establece que las ecuaciones entre funciones holomorfas válidas en un intervalo real se cumplen en todas partes. En particular, la relación de recurrencia [ 2 ] y ∂γ ( s , z )/ ∂z = z s⁻¹ e⁻ z [ 2 ] se conservan en las ramas correspondientes .

Representación integral

La última relación nos dice que, para un s fijo , γ es una primitiva o antiderivada de la función holomorfa z s −1 e − z . En consecuencia, para cualquier complejo u , v ≠ 0 , ∫túvts−1mi−tdt=γ(s,v)−γ(s,tú){\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)} se cumple siempre que la trayectoria de integración esté completamente contenida en el dominio de una rama del integrando. Si, además, la parte real de s es positiva, entonces se aplica el límite γ ( s , u ) → 0 para u → 0 , llegando finalmente a la definición de integral compleja de γ [ 1 ].γ(s,z)=∫0zts−1mi−tdt,ℜ(s)>0.{\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}

Cualquier camino de integración que contenga 0 solo al principio, y que de otro modo esté restringido al dominio de una rama del integrando, es válido aquí, por ejemplo, la línea recta que conecta 0 y z .

Límite para z → +∞
Valores reales

Dada la representación integral de una rama principal de γ , la siguiente ecuación se cumple para todos los s y x reales positivos : [ 7 ]Γ(s)=∫0∞ts−1mi−tdt=límiteincógnita→∞γ(s,incógnita){\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}

complejo s

Este resultado se extiende a s complejos . Supongamos primero que 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 y 1 < a < b . Entonces |γ(s,b)−γ(s,a)|≤∫ab|ts−1|mi−tdt=∫abtℜs−1mi−tdt≤∫abtmi−tdt{\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt} donde [ 8 ]|zs|=|z|ℜsmi−ℑsarg⁡z{\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}} se ha utilizado en el medio. Dado que la integral final se vuelve arbitrariamente pequeña si solo a es suficientemente grande, γ ( s , x ) converge uniformemente para x → ∞ en la franja 1 ≤ Re(s) ≤ 2 hacia una función holomorfa, [ 3 ] que debe ser Γ(s) debido al teorema de identidad. Tomando el límite en la relación de recurrencia γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x s − 1 e − x y observando que lim x n e − x = 0 para x → ∞ y todo n , se muestra que γ ( s , x ) también converge fuera de la franja hacia una función que obedece la relación de recurrencia de la función Γ. Se sigue Γ(s)=límiteincógnita→∞γ(s,incógnita){\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} para todo s complejo que no sea un entero no positivo, x es real y γ es principal.

Convergencia sectorial

Ahora sea u del sector | arg z | < δ < π /2 con algún δ fijo ( α = 0 ), sea γ la rama principal en este sector, y observemos Γ(s)−γ(s,tú)=Γ(s)−γ(s,|tú|)+γ(s,|tú|)−γ(s,tú).{\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}

Como se muestra arriba, la primera diferencia puede hacerse arbitrariamente pequeña, si | u | es suficientemente grande. La segunda diferencia permite la siguiente estimación: |γ(s,|tú|)−γ(s,tú)|≤∫tú|tú||zs−1mi−z|dz=∫tú|tú||z|ℜs−1mi−ℑsarg⁡zmi−ℜzdz,{\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,} donde utilizamos la representación integral de γ y la fórmula sobre | z s | anterior. Si integramos a lo largo del arco con radio R = | u | alrededor de 0 que conecta u y | u | , entonces la última integral es ≤R|arg⁡tú|Rℜs−1miℑs|arg⁡tú|mi−Rporque⁡arg⁡tú≤δRℜsmiℑsδmi−Rporque⁡δ=METRO(Rporque⁡δ)ℜsmi−Rporque⁡δ{\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }} donde M = δ (cos δ ) −Re s e Im sδ es una constante independiente de u o R . Refiriéndose nuevamente al comportamiento de x n e − x para valores grandes de x , vemos que la última expresión se aproxima a 0 a medida que R aumenta hacia ∞ . En total, ahora tenemos: Γ(s)=límite|z|→∞γ(s,z),|arg⁡z|<π/2−ϵ,{\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,} Si s no es un entero no negativo, 0 < ε < π /2 es arbitrariamente pequeño, pero fijo, y γ denota la rama principal en este dominio.

Descripción general

γ(s,z){\displaystyle \gamma (s,z)}es:

  • entero en z para un entero positivo fijo s ;
  • holomorfo multivaluado en z para s fijo que no es un entero, con un punto de ramificación en z = 0 ;
  • en cada rama meromorfa en s para z ≠ 0 fijo , con polos simples en enteros no positivos s.

Función gamma incompleta superior

En cuanto a la función gamma incompleta superior , una extensión holomorfa , con respecto a z o s , viene dada por [ 1 ].Γ(s,z)=Γ(s)−γ(s,z){\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)} en los puntos ( s , z ) , donde existe el lado derecho. Dado queγ{\displaystyle \gamma }es multivaluado, lo mismo ocurre conΓ{\displaystyle \Gamma }, pero una restricción a valores principales solamente produce la rama principal de valor único deΓ{\displaystyle \Gamma }.

Cuando s es un entero no positivo en la ecuación anterior, ninguna parte de la diferencia está definida, y un proceso límite , desarrollado aquí para s → 0 , completa los valores faltantes. El análisis complejo garantiza la holomorfía , porqueΓ(s,z){\displaystyle \Gamma (s,z)}Se demuestra que está acotado en un entorno de ese límite para un z fijo .

Para determinar el límite, la serie de potencias deγ∗{\displaystyle \gamma ^{*}}en z = 0 es útil. Al reemplazarmi−incógnita{\displaystyle e^{-x}}por su serie de potencias en la definición integral deγ{\displaystyle \gamma }, se obtiene (supongamos que x y s son números reales positivos por ahora): γ(s,incógnita)=∫0incógnitats−1mi−tdt=∫0incógnita∑k=0∞(−1)kts+k−1k¡dt=∑k=0∞(−1)kincógnitas+kk¡(s+k)=incógnitas∑k=0∞(−incógnita)kk¡(s+k){\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}} o [ 4 ]γ∗(s,incógnita)=∑k=0∞(−incógnita)kk¡Γ(s)(s+k),{\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},} que, como representación en serie de todoγ∗{\displaystyle \gamma ^{*}}función, converge para todo x complejo (y todo s complejo que no sea un entero no positivo).

Al eliminarse su restricción a valores reales, la serie permite la expansión: γ(s,z)−1s=−1s+zs∑k=0∞(−z)kk¡(s+k)=zs−1s+zs∑k=1∞(−z)kk¡(s+k),ℜ(s)>−1,s≠0.{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}

Cuando s → 0 : [ 9 ]zs−1s→ln⁡(z),Γ(s)−1s=1s−γ+O(s)−1s→−γ,{\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,} (γ{\displaystyle \gamma }es la constante de Euler-Mascheroni aquí), por lo tanto, Γ(0,z)=límites→0(Γ(s)−1s−(γ(s,z)−1s))=−γ−ln⁡(z)−∑k=1∞(−z)kk(k¡){\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}} es la función límite de la función gamma incompleta superior cuando s → 0 , también conocida como la integral exponencial.mi1(z){\displaystyle E_{1}(z)}. [ 10 ]

Mediante la relación de recurrencia, los valores deΓ(−norte,z){\displaystyle \Gamma (-n,z)}para enteros positivos n se puede derivar de este resultado, [ 11 ]Γ(−norte,z)=1norte¡(mi−zznorte∑k=0norte−1(−1)k(norte−k−1)¡zk+(−1)norteΓ(0,z)){\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)} Por lo tanto, se demuestra que la función gamma incompleta superior existe y es holomorfa, con respecto a z y s , para todo s y z ≠ 0 .

Γ(s,z){\displaystyle \Gamma (s,z)}es:

  • entero en z para una integral positiva fija s ;
  • holomorfo multivaluado en z para s fijo distinto de cero y no un entero positivo, con un punto de ramificación en z = 0 ;
  • igual aΓ(s){\displaystyle \Gamma (s)}para s con parte real positiva y z = 0 (el límite cuando(si,zi)→(s,0){\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}), pero esta es una extensión continua, no analítica (¡ no se cumple para s real < 0 !);
  • en cada rama entera en s para z ≠ 0 fijo .

Valores especiales

  • Γ(s+1,1)=⌊mis¡⌋mi{\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}si s es un entero positivo ,
  • Γ(s,incógnita)=(s−1)¡mi−incógnita∑k=0s−1incógnitakk¡{\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}si s es un entero positivo , [ 12 ]
  • Γ(s,0)=Γ(s),ℜ(s)>0{\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0},
  • Γ(1,incógnita)=mi−incógnita{\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}},
  • γ(1,incógnita)=1−mi−incógnita{\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}},
  • Γ(0,incógnita)=−Ei⁡(−incógnita){\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}paraincógnita>0{\displaystyle x>0},
  • Γ(s,incógnita)=incógnitasmi1−s⁡(incógnita){\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)},
  • Γ(12,incógnita)=πerfc⁡(incógnita){\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)},
  • γ(12,incógnita)=πterreno⁡(incógnita){\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}.

Aquí,Ei{\displaystyle \operatorname {Ei} }es la integral exponencial ,minorte{\displaystyle \operatorname {E} _{n}}es la integral exponencial generalizada ,terreno{\displaystyle \operatorname {erf} }es la función de error yerfc{\displaystyle \operatorname {erfc} }es la función de error complementaria ,erfc⁡(incógnita)=1−terreno⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}.

Comportamiento asintótico

  • γ(s,incógnita)incógnitas→1s{\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}comoincógnita→0{\displaystyle x\to 0},
  • Γ(s,incógnita)incógnitas→−1s{\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}comoincógnita→0{\displaystyle x\to 0}yℜ(s)<0{\displaystyle \Re (s)<0}(para s real , el error de Γ( s , x ) ~ − x s / s es del orden de O ( x min{ s + 1, 0} ) si s ≠ −1 y O (ln( x )) si s = −1 ),
  • Γ(s,incógnita)∼Γ(s)−∑norte=0∞(−1)norteincógnitas+nortenorte¡(s+norte){\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}como una serie asintótica dondeincógnita→0+{\displaystyle x\to 0^{+}}ys≠0,−1,−2,…{\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }. [ 13 ]
  • Γ(−norte,incógnita)∼donorte+(−1)norte+1norte¡ln⁡incógnita−∑norte=0,norte≠norte∞(−1)norteincógnitanorte−nortenorte¡(norte−norte){\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}como una serie asintótica dondeincógnita→0+{\displaystyle x\to 0^{+}}ynorte=1,2,…{\displaystyle N=1,2,\dots }, dóndedonorte=(−1)norte+1norte¡(γ−∑norte=1norte1norte){\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}, dóndeγ{\displaystyle \gamma }es la constante de Euler-Mascheroni . [ 13 ]
  • γ(s,incógnita)→Γ(s){\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}comoincógnita→∞{\displaystyle x\to \infty }. [ 14 ]
  • Γ(s,incógnita)incógnitas−1mi−incógnita→1{\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}comoincógnita→∞{\displaystyle x\to \infty }[ 15 ] ,
  • sis{\displaystyle s}≥ 0 es de valor real,Γ(s,z)∼zs−1mi−z∑k=0Γ(s)Γ(s−k)z−k{\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}como una serie asintótica donde|z|→∞{\displaystyle |z|\to \infty }y|arg⁡z|<32π{\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }. [ 16 ]

Fórmulas de evaluación

La función gamma inferior se puede evaluar utilizando la expansión en serie de potencias: [ 17 ]γ(s,z)=∑k=0∞zsmi−zzks(s+1)…(s+k)=zsmi−z∑k=0∞zksk+1¯{\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}} dóndesk+1¯{\displaystyle s^{\overline {k+1}}}es el símbolo de Pochhammer .

Una expansión alternativa es γ(s,z)=∑k=0∞(−1)kk¡zs+ks+k=zssMETRO(s,s+1,−z),{\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),} donde M es la función hipergeométrica confluente de Kummer .

Conexión con la función hipergeométrica confluente de Kummer

Cuando la parte real de z es positiva, γ(s,z)=s−1zsmi−zMETRO(1,s+1,z){\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)} dóndeMETRO(1,s+1,z)=1+z(s+1)+z2(s+1)(s+2)+z3(s+1)(s+2)(s+3)+⋯{\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }tiene un radio de convergencia infinito.

Nuevamente con funciones hipergeométricas confluentes y empleando la identidad de Kummer, Γ(s,z)=mi−zU(1−s,1−s,z)=zsmi−zΓ(1−s)∫0∞mi−tútús(z+tú)dtú=mi−zzsU(1,1+s,z)=mi−z∫0∞mi−tú(z+tú)s−1dtú=mi−zzs∫0∞mi−ztú(1+tú)s−1dtú.{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}

Para el cálculo real de valores numéricos, la fracción continua de Gauss proporciona una expansión útil: γ(s,z)=zsmi−zs−szs+1+zs+2−(s+1)zs+3+2zs+4−(s+2)zs+5+3zs+6−⋱.{\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Esta fracción continua converge para todo z complejo , siempre que s no sea un entero negativo.

La función gamma superior tiene la fracción continua [ 18 ]Γ(s,z)=zsmi−zz+1−s1+1z+2−s1+2z+3−s1+⋱{\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}} yΓ(s,z)=zsmi−z1+z−s+s−13+z−s+2(s−2)5+z−s+3(s−3)7+z−s+4(s−4)9+z−s+⋱{\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}

Teorema de la multiplicación

El siguiente teorema de multiplicación es verdadero : Γ(s,z)=1ts∑i=0∞(1−1t)ii¡Γ(s+i,tz)=Γ(s,tz)−(tz)smi−tz∑i=1∞(1t−1)iiLi−1(s−i)(tz).{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}

Implementación de software

Las funciones gamma incompletas están disponibles en varios sistemas de álgebra computacional .

Sin embargo, aunque no estén disponibles directamente, los valores incompletos de las funciones pueden calcularse utilizando funciones comunes en las hojas de cálculo (y en los paquetes de álgebra computacional). En Excel , por ejemplo, se pueden calcular utilizando la función gamma combinada con la función de distribución gamma .

  • La función incompleta inferior:γ(s,incógnita){\displaystyle \gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE).
  • La función incompleta superior:Γ(s,incógnita){\displaystyle \Gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)).

Estas se derivan de la definición de la función de distribución acumulativa de la distribución gamma .

En Python , la biblioteca Scipy proporciona implementaciones de funciones gamma incompletas scipy.special, sin embargo, no admite valores negativos para el primer argumento. La función gammaincde la biblioteca mpmath admite todos los argumentos complejos.

Funciones gamma regularizadas y variables aleatorias de Poisson

Dos funciones relacionadas son las funciones gamma regularizadas: PAG(s,incógnita)=γ(s,incógnita)Γ(s),Q(s,incógnita)=Γ(s,incógnita)Γ(s)=1−PAG(s,incógnita).{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}PAG(s,incógnita){\displaystyle P(s,x)}es la función de distribución acumulativa para variables aleatorias gamma con parámetro de formas{\displaystyle s}y parámetro de escala 1.

Cuandos{\displaystyle s}es un número entero,Q(s+1,λ){\displaystyle Q(s+1,\lambda )}es la función de distribución acumulativa para variables aleatorias de Poisson : Siincógnita{\displaystyle X}es unPAGoi(λ){\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}variable aleatoria entonces Pr(incógnita≤s)=∑i≤smi−λλii¡=Γ(s+1,λ)Γ(s+1)=Q(s+1,λ).{\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}

Esta fórmula se puede obtener mediante integración sucesiva por partes.

PAG(s,incógnita){\displaystyle P(s,x)}yQ(s,incógnita){\displaystyle Q(s,x)}se implementan como gammainc[ 19 ] y gammaincc[ 20 ] en scipy .

Derivadas parciales

Utilizando la representación integral anterior, la derivada de la función gamma incompleta superiorΓ(s,incógnita){\displaystyle \Gamma (s,x)}con respecto a x es ∂Γ(s,incógnita)∂incógnita=−incógnitas−1mi−incógnita{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}} La derivada con respecto a su primer argumentos{\displaystyle s}está dado por [ 21 ]∂Γ(s,incógnita)∂s=ln⁡incógnitaΓ(s,incógnita)+incógnitaT(3,s,incógnita){\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)} y la segunda derivada por ∂2Γ(s,incógnita)∂s2=ln2⁡incógnitaΓ(s,incógnita)+2incógnita[ln⁡incógnitaT(3,s,incógnita)+T(4,s,incógnita)]{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]} donde la funciónT(metro,s,incógnita){\displaystyle T(m,s,x)}es un caso especial de la función G de MeijerT(metro,s,incógnita)=GRAMOmetro−1,metrometro,0(0,0,…,0s−1,−1,…,−1|incógnita).{\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).} Este caso especial en particular tiene propiedades de cierre interno propias porque puede usarse para expresar todas las derivadas sucesivas. En general, ∂metroΓ(s,incógnita)∂smetro=lnmetro⁡incógnitaΓ(s,incógnita)+metroincógnita∑norte=0metro−1PAGnortemetro−1lnmetro−norte−1⁡incógnitaT(3+norte,s,incógnita){\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} dóndePAGjnorte{\displaystyle P_{j}^{n}}es la permutación definida por el símbolo de Pochhammer : PAGjnorte=(nortej)j¡=norte¡(norte−j)¡.{\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.} Todos estos derivados pueden generarse sucesivamente a partir de: ∂T(metro,s,incógnita)∂s=ln⁡incógnita T(metro,s,incógnita)+(metro−1)T(metro+1,s,incógnita){\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)} y ∂T(metro,s,incógnita)∂incógnita=−T(metro−1,s,incógnita)+T(metro,s,incógnita)incógnita{\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}} Esta funciónT(metro,s,incógnita){\displaystyle T(m,s,x)}se puede calcular a partir de su representación en serie válida para|z|<1{\displaystyle |z|<1}, T(metro,s,z)=−(−1)metro−1(metro−2)¡dmetro−2dtmetro−2[Γ(s−t)zt−1]|t=0+∑norte=0∞(−1)nortezs−1+nortenorte¡(−s−norte)metro−1{\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}} con el entendimiento de que s no es un entero negativo ni cero. En tal caso, se debe usar un límite. Resultados para|z|≥1{\displaystyle |z|\geq 1}se puede obtener mediante continuación analítica . Algunos casos especiales de esta función se pueden simplificar. Por ejemplo,T(2,s,incógnita)=Γ(s,incógnita)/incógnita{\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x},incógnitaT(3,1,incógnita)=mi1(incógnita){\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}, dóndemi1(incógnita){\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}es la integral exponencial . Estas derivadas y la funciónT(metro,s,incógnita){\displaystyle T(m,s,x)}proporcionar soluciones exactas a varias integrales mediante la diferenciación repetida de la definición integral de la función gamma incompleta superior. [ 22 ] [ 23 ] Por ejemplo, ∫incógnita∞ts−1lnmetro⁡tmitdt=∂metro∂smetro∫incógnita∞ts−1mitdt=∂metro∂smetroΓ(s,incógnita){\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)} Esta fórmula puede ampliarse o generalizarse a una amplia gama de transformadas de Laplace y Mellin . Al combinarse con un sistema de álgebra computacional , el uso de funciones especiales proporciona un método eficaz para resolver integrales definidas, en particular las que se presentan en aplicaciones prácticas de ingeniería (véase Integración simbólica para más detalles).

Integrales indefinidas y definidas

Las siguientes integrales indefinidas se obtienen fácilmente mediante la integración por partes (omitiendo la constante de integración en ambos casos): ∫incógnitab−1γ(s,incógnita)dincógnita=1b(incógnitabγ(s,incógnita)−γ(s+b,incógnita)),∫incógnitab−1Γ(s,incógnita)dincógnita=1b(incógnitabΓ(s,incógnita)−Γ(s+b,incógnita)).{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}} Las funciones gamma incompletas inferior y superior están conectadas mediante la transformada de Fourier : ∫−∞∞γ(s2,z2π)(z2π)s2mi−2πikzdz=Γ(1−s2,k2π)(k2π)1−s2.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.} Esto se deduce, por ejemplo, de la especialización adecuada de ( Gradshteyn et al. 2015 , §7.642) .

Notas

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  9. ↑ ver última ecuación.
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  • PAG(a,incógnita){\displaystyle P(a,x)}— Calculadora de la función gamma incompleta inferior regularizada
  • Q(a,incógnita){\displaystyle Q(a,x)}— Calculadora de la función gamma incompleta superior regularizada
  • γ(a,incógnita){\displaystyle \gamma (a,x)}— Calculadora de la función gamma incompleta inferior
  • Γ(a,incógnita){\displaystyle \Gamma (a,x)}— Calculadora de la función gamma incompleta superior
  • Fórmulas e identidades de la función gamma incompleta functions.wolfram.com
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