Función gamma recíproca

En matemáticas , la función gamma recíproca es la función$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$$ donde Γ( z ) denota la función gamma . Dado que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en todo el plano complejo , su recíproca es una función entera . Como función entera, es de orden 1 (lo que significa que log log | 1 / Γ( z ) | no crece más rápido que log | z | ) , pero de tipo infinito ( lo que significa que log | 1 / Γ( z ) | crece más rápido que cualquier múltiplo de | z | , ya que su crecimiento es aproximadamente proporcional a | z | log | z | en el semiplano izquierdo) .

En ocasiones, el recíproco se utiliza como punto de partida para el cálculo numérico de la función gamma, y ​​algunas bibliotecas de software lo proporcionan por separado de la función gamma habitual.

Karl Weierstrass denominó a la función gamma recíproca "factorielle" y la utilizó en el desarrollo de su teorema de factorización de Weierstrass .

Partiendo de las definiciones de producto infinito para la función gamma , debidas a Euler y Weierstrass respectivamente, obtenemos la siguiente expansión de producto infinito para la función gamma recíproca: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$$

donde γ = 0,577216... es la constante de Euler-Mascheroni . Estas expansiones son válidas para todos los números complejos z . 

La expansión en serie de Taylor alrededor de 0 da: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$$ donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Para n > 2 , el coeficiente a _n para el término z ⁿ se puede calcular recursivamente como ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$$ donde ζ es la función zeta de Riemann . Recientemente, Fekih-Ahmed (2014) encontró una representación integral para estos coeficientes: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}$$

Para valores pequeños, estos dan los siguientes valores:

Fekih-Ahmed (2014) ^{[ 3 ]} también proporciona una aproximación para un _n :

$${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$$ donde z ₀ = −1/ n exp( W ₋₁ (− n )) , y W ₋₁ es la rama negativa inicial de la función W de Lambert .

La expansión de Taylor alrededor de 1 tiene los mismos coeficientes (pero desplazados), es decir: $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$$ (el recíproco de la función pi de Gauss ).

Cuando | z | tiende a infinito a una constante arg( z ), tenemos: $${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$$

Una representación integral debida a Hermann Hankel es $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$ donde H es el contorno de Hankel , es decir, la trayectoria que rodea a 0 en la dirección positiva, comenzando en y regresando al infinito positivo con respecto al corte de rama a lo largo del eje real positivo. Según Schmelzer y Trefethen, ^{[ 4 ]} la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores métodos para calcular la función gamma.

Para enteros positivos n ≥ 1 , existe una integral para la función factorial recíproca dada por ^{[ 5 ].}$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$$

De manera similar, para cualquier real c > 0 y z ∈ C tal que Re( z ) > 0 tenemos la siguiente integral para la función gamma recíproca a lo largo del eje real en la forma: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$$ donde el caso particular en que z = n + 1/2 proporciona una relación correspondiente para la función doble factorial recíproca , $${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$$

La integración de la función gamma recíproca a lo largo del eje real positivo da el valor $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$$ que se conoce como la constante de Fransén-Robinson . ^{[ 7 ]}

Tenemos la siguiente fórmula ^{[ 8 ] : cap. 9, ejercicio 100}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}$$

• función de Bessel-Clifford
• Distribución gamma inversa
• Función Nu

• Mette Lund, Una integral para la función Gamma recíproca. Archivado el 31 de mayo de 2020 en Wayback Machine.
• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas
• Eric W. Weisstein , Función Gamma , MathWorld