Integración simbólica

En cálculo , la integración simbólica es el problema de encontrar una fórmula para la antiderivada , o integral indefinida , de una función dada f ( x ), es decir, encontrar una fórmula para una función diferenciable F ( x ) tal que

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

La familia de todas las funciones que satisfacen esta propiedad se puede denotar

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

El término simbólico se utiliza para distinguir este problema del de la integración numérica , donde se busca el valor de F en una entrada o conjunto de entradas particulares, en lugar de una fórmula general para F.

Ambos problemas se consideraban de importancia práctica y teórica mucho antes de la llegada de los ordenadores digitales, pero ahora se consideran generalmente dominio de la informática , ya que actualmente los ordenadores se utilizan con mayor frecuencia para abordar casos individuales.

Calcular la derivada de una expresión es un proceso sencillo para el que resulta fácil construir un algoritmo . El proceso inverso, el de calcular la integral, es mucho más complejo. Muchas expresiones relativamente simples no tienen integrales que puedan expresarse en forma cerrada . Consulte los artículos sobre antiderivadas e integrales no elementales para obtener más detalles.

Existe un procedimiento llamado algoritmo de Risch que es capaz de determinar si la integral de una función elemental (función construida a partir de un número finito de exponenciales , logaritmos , constantes y raíces enésimas mediante composición y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales ) es elemental y devolverla si lo es. En su forma original, el algoritmo de Risch no era adecuado para una implementación directa, y su implementación completa requirió mucho tiempo. Se implementó por primera vez en Reduce para el caso de funciones puramente trascendentales ; el caso de funciones puramente algebraicas fue resuelto e implementado en Reduce por James H. Davenport ; el caso general fue resuelto por Manuel Bronstein, quien lo implementó casi por completo en Axiom , aunque hasta la fecha no existe ninguna implementación del algoritmo de Risch que pueda manejar todos los casos especiales y ramas que contiene. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sin embargo, el algoritmo de Risch se aplica solo a integrales indefinidas , mientras que la mayoría de las integrales de interés para físicos, químicos teóricos e ingenieros son integrales definidas , a menudo relacionadas con transformadas de Laplace , transformadas de Fourier y transformadas de Mellin . Al carecer de un algoritmo general, los desarrolladores de sistemas de álgebra computacional han implementado heurísticas basadas en la coincidencia de patrones y la explotación de funciones especiales, en particular la función gamma incompleta . ^{[ 3 ]} Aunque este enfoque es heurístico más que algorítmico, es un método eficaz para resolver muchas integrales definidas que se encuentran en aplicaciones prácticas de ingeniería. Sistemas anteriores, como Macsyma, tenían algunas integrales definidas relacionadas con funciones especiales dentro de una tabla de búsqueda. Sin embargo, este método particular, que implica la diferenciación de funciones especiales con respecto a sus parámetros, transformación de variables, coincidencia de patrones y otras manipulaciones, fue desarrollado por los creadores del sistema Maple ^{[ 4 ]} y luego emulado por Mathematica , Axiom , MuPAD y otros sistemas.

El principal problema del enfoque clásico de la integración simbólica radica en que, si una función se representa en forma cerrada , su antiderivada , en general, no tiene una representación similar. En otras palabras, la clase de funciones que pueden representarse en forma cerrada no es cerrada bajo la antiderivación.

Las funciones holonómicas son una amplia clase de funciones, que es cerrada bajo la antiderivación y permite la implementación algorítmica en computadoras de la integración y muchas otras operaciones del cálculo.

Más precisamente, una función holonómica es la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinómicos. Las funciones holonómicas son cerradas bajo la suma, la multiplicación, la derivación y la antiderivación. Incluyen funciones algebraicas , exponenciales , logaritmos , senos , cosenos , funciones trigonométricas inversas y funciones hiperbólicas inversas .

También incluyen la mayoría de las funciones especiales comunes, como la función de Airy , la función de error , las funciones de Bessel y todas las funciones hipergeométricas .

Una propiedad fundamental de las funciones holonómicas es que los coeficientes de su serie de Taylor en cualquier punto satisfacen una relación de recurrencia lineal con coeficientes polinómicos, y que esta relación de recurrencia puede calcularse a partir de la ecuación diferencial que define la función. A la inversa, dada una relación de recurrencia similar entre los coeficientes de una serie de potencias , esta serie define una función holonómica cuya ecuación diferencial puede calcularse algorítmicamente. Esta relación de recurrencia permite un cálculo rápido de la serie de Taylor y, por lo tanto, del valor de la función en cualquier punto, con un error certificado arbitrariamente pequeño.

Esto convierte en algorítmicas la mayoría de las operaciones del cálculo , cuando se restringen a funciones holonómicas, representadas por su ecuación diferencial y condiciones iniciales. Esto incluye el cálculo de antiderivadas e integrales definidas (lo que equivale a evaluar la antiderivada en los extremos del intervalo de integración). También incluye el cálculo del comportamiento asintótico de la función en el infinito y, por lo tanto, las integrales definidas en intervalos no acotados.

Todas estas operaciones están implementadas en la biblioteca algolib para Maple . ^{[ 5 ]}

Véase también el Diccionario dinámico de funciones matemáticas. ^{[ 6 ]}

Por ejemplo:

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

es un resultado simbólico para una integral indefinida (aquí C es una constante de integración ),

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

es un resultado simbólico para una integral definida, y

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0.6667}$

es un resultado numérico para la misma integral definida.

• Álgebra computacional : área científica en la interfaz entre la informática y las matemáticas. 
• Función elemental – Tipo de función matemática 
• Función H de Fox : generalización de la función G de Meijer y la función de Fox-Wright. 
• Integral definida : operación en cálculo matemático 
• Listas de integrales
• Función G de Meijer : generalización de la función hipergeométrica. 
• Cálculo operacional : técnica para resolver ecuaciones diferenciales 
• Algoritmo de Risch : método para evaluar integrales indefinidas