Función gamma

La notación${\displaystyle \Gamma (z)}$se debe a Legendre . ^{[ 1 ]} Si la parte real del número complejo${\displaystyle z}$es estrictamente positivo ( ⁠${\displaystyle \Re (z)>0}$⁠ ), entonces la integral$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$converge absolutamente y se conoce como la integral de Euler de segunda especie . (La integral de Euler de primera especie es la función beta . ^{[ 1 ]} )

El valor${\displaystyle \Gamma (1)}$se puede calcular como$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1.\end{aligned}}}$$

Integrando por partes , se observa que$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\[6pt]&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }z\,t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$Reconociendo que${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$como​${\displaystyle t\to 0}$⁠ (siempre y cuando ⁠${\displaystyle \Re (z)>0}$) y como${\displaystyle t\to \infty }$⁠ ,$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=z\,\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Así hemos demostrado que${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$para cualquier entero positivo n por inducción .

La identidad${\textstyle z\Gamma (z)=\Gamma (z+1)}$se puede utilizar (o, obteniendo el mismo resultado, se puede utilizar la continuación analítica ) para extender de forma única la formulación integral para${\displaystyle \Gamma (z)}$a una función meromorfa definida para todos los números complejos${\displaystyle z}$⁠ , excepto los enteros menores o iguales a cero. ^{[ 1 ]} Es esta versión extendida la que comúnmente se conoce como la función gamma. ^{[ 1 ]}

Existen muchas definiciones equivalentes.

Además de la propiedad fundamental mencionada anteriormente,$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z).}$$Otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler ,$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}$$lo cual implica$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ y la fórmula de duplicación de Legendre$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z).}$$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación (véase ^{[ 9 ]} Eq. 5.5.6):   $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Una propiedad simple pero útil, que se puede observar en la definición de límite, es: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

En particular, con${\displaystyle z=a+bi}$⁠ , este producto es $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Si la parte real es un número entero o un semi-entero , esto se puede expresar de forma finita en forma cerrada : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero es $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ que se puede encontrar configurando${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$en la fórmula de reflexión, utilizando la relación con la función beta que se muestra a continuación con ⁠${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$, o simplemente haciendo la sustitución${\displaystyle t=u^{2}}$en la definición integral de la función gamma, resultando en una integral gaussiana . En general, para valores enteros no negativos de${\displaystyle n}$tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}\,n!\,{\sqrt {\pi }}\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}\,n!}}\end{aligned}}}$$donde el factorial doble${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$Consulte los valores particulares de la función gamma para obtener los valores calculados.

Podría ser tentador generalizar el resultado de que${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$buscando una fórmula para otros valores individuales${\displaystyle \Gamma (r)}$dónde${\displaystyle r}$es racional, especialmente porque según el teorema digamma de Gauss , es posible hacerlo para la función digamma estrechamente relacionada en cada valor racional. Sin embargo, estos números${\displaystyle \Gamma (r)}$No se sabe que puedan expresarse por sí mismas en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que${\displaystyle \Gamma (n+r)}$es un número trascendental y algebraicamente independiente de${\displaystyle \pi }$para cualquier número entero${\displaystyle n}$y cada una de las fracciones${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$⁠ . ^{[ 10 ]} En general, al calcular los valores de la función gamma, debemos conformarnos con aproximaciones numéricas.

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma , ⁠${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$:​$${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$Para un entero positivo${\displaystyle m}$La derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ dónde${\displaystyle H(m)}$es el${\displaystyle m}$número armónico y${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni .

Para${\displaystyle \Re (z)>0}$el${\displaystyle n}$La derivada de la función gamma es:$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$(Esto se puede derivar diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a ⁠${\displaystyle z}$. )

Utilizando la identidad$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\,\zeta (n)),}$$dónde${\displaystyle \zeta (z)}$es la función zeta de Riemann y${\displaystyle B_{n}}$es el${\displaystyle n}$polinomio de Bell , tenemos en particular la expansión en serie de Laurent de la función gamma ^{[ 11 ].}$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Cuando se restringe a los números reales positivos , la función gamma es una función estrictamente logarítmicamente convexa . Esta propiedad puede enunciarse de cualquiera de las siguientes tres formas equivalentes:

• For any two positive real numbers ${\displaystyle x_{1}}$ and ⁠${\displaystyle x_{2}}$⁠, and for any ⁠${\displaystyle t\in [0,1]}$⁠, $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• For any two positive real numbers ${\displaystyle x_{1}}$ and ⁠${\displaystyle x_{2}}$⁠, and ${\displaystyle x_{2}}$ > ${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• For any positive real number ⁠${\displaystyle x}$⁠, $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

The last of these statements is, essentially by definition, the same as the statement that ⁠${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$⁠, where ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ is the polygamma function of order 1. To prove the logarithmic convexity of the gamma function, it therefore suffices to observe that ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ has a series representation which, for positive real x, consists of only positive terms.

Logarithmic convexity and Jensen's inequality together imply, for any positive real numbers ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$⁠ and ⁠${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$⁠, $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

There are also bounds on ratios of gamma functions. The best-known is Gautschi's inequality, which says that for any positive real number x and any s ∈ (0, 1), $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

The behavior of ${\displaystyle \Gamma (x)}$ for an increasing positive real variable is given by Stirling's formula$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$where the symbol ${\displaystyle \sim }$ means asymptotic convergence: the ratio of the two sides converges to ⁠${\displaystyle 1}$⁠ in the limit ⁠${\displaystyle \textstyle x\to +\infty }$⁠.^[1] This growth is faster than exponential, ⁠${\displaystyle \exp(\beta x)}$⁠, for any fixed value of ⁠${\displaystyle \beta }$⁠.

Another useful limit for asymptotic approximations for ${\displaystyle x\to +\infty }$ is:$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

When writing the error term as an infinite product, Stirling's formula can be used to define the gamma function:^[12]$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right].}$$

Although the main definition of the gamma function—the Euler integral of the second kind—is only valid (on the real axis) for positive arguments, its domain can be extended with analytic continuation^[13] to negative arguments by shifting the negative argument to positive values by using either the Euler's reflection formula,$${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$or the fundamental property,$${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$when ⁠${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$⁠. For example,$${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

The behavior for non-positive ${\displaystyle z}$ is more intricate. Euler's integral does not converge for ⁠${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$⁠ , pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única al semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es usar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia, ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$elegir${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle z+n}$es positivo. El producto en el denominador es cero cuando${\displaystyle z}$es igual a cualquiera de los números enteros${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$Por lo tanto, la función gamma debe ser indefinida en esos puntos para evitar la división por cero ; es una función meromorfa con polos simples en los enteros no positivos. ^{[ 1 ]}

Para una función${\displaystyle f}$de una variable compleja${\displaystyle z}$⁠ , en un poste simple ⁠${\displaystyle c}$⁠ , el residuo de${\displaystyle f}$está dado por:$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Para el poste simple${\displaystyle z=-n}$⁠ , la fórmula de recurrencia se puede reescribir como:$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$El numerador en ⁠${\displaystyle z=-n}$⁠ , es$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$y el denominador$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$Entonces, los residuos de la función gamma en esos puntos son: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$La función gamma es distinta de cero en todos los puntos de la recta real, aunque se aproxima arbitrariamente a cero cuando ⁠${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$⁠ . De hecho, no existe ningún número complejo.${\displaystyle z}$para lo cual${\displaystyle \Gamma (z)=0}$y , por lo tanto, la función gamma recíproca${\textstyle {\dfrac {1}{\Gamma (z)}}}$es una función completa , con ceros en ⁠${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$⁠ . ^{[ 1 ]}

En la recta real, la función gamma tiene un mínimo local en z _min = +1,46163 21449 68362 34126... ^{[ 15 ]} donde alcanza el valor Γ( z _min ) = +0,88560 31944 10888 70027... . ^{[ 16 ]} La función gamma aumenta a ambos lados de este mínimo. La solución de Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) es z = +1,5 y el valor común es Γ(1) = Γ(2) = +1 . La solución positiva de Γ( z − 1) = Γ( z + 1) es z = φ ≈ +1,618 , la proporción áurea , y el valor común es Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! = +1,44922 96022 69896 60037... . ^{[ 17 ]}

La función gamma debe alternar el signo entre sus polos en los enteros no positivos porque el producto en la recurrencia hacia adelante contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre${\displaystyle z}$y${\displaystyle z+n}$es impar, y un número par si el número de polos es par. ^{[ 14 ]} Los valores en los extremos locales de la función gamma a lo largo del eje real entre los enteros no positivos son:

Γ( −0,50408 30082 64455 40925... ^{[ 18 ]} ) = −3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1,57349 84731 62390 45877... ^{[ 19 ]} ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2,61072 08684 44144 65000... ^{[ 20 ]} ) = −0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3,63529 33664 36901 09783... ^{[ 21 ]} ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4,65323 77617 43142 44171... ^{[ 22 ]} ) = −0,05277 96395 87319 40076... , etc.

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segunda especie, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de${\displaystyle z}$es positivo, ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$y ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ donde las tres integrales se obtienen respectivamente de las sustituciones${\displaystyle t=e^{-x}}$⁠ ,${\displaystyle t=-\log x}$^{[ 25 ]} y${\displaystyle t=cx^{2}}$^{[ 26 ]} en la segunda integral de Euler. La última integral en particular deja clara la conexión entre la función gamma en argumentos semi-enteros y laintegral gaussiana: si${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$obtenemos$${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$La integral del lado derecho puede interpretarse como una transformada de Laplace . Es decir,$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

La segunda fórmula integral de Binet establece que, nuevamente cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Sea C un contorno de Hankel , es decir, un camino que comienza y termina en el punto ∞ en la esfera de Riemann , cuyo vector tangente unitario converge a −1 al inicio del camino y a 1 al final, que tiene número de vueltas 1 alrededor de 0 , y que no cruza ⁠${\displaystyle [0,\infty )}$⁠ . Arreglar una rama de${\displaystyle \log(-t)}$tomando una rama cortada a lo largo${\displaystyle [0,\infty )}$y tomando${\displaystyle \log(-t)}$ser real cuando${\displaystyle t}$está en el eje real negativo. Si${\displaystyle z}$Si no es un número entero, entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$dónde${\displaystyle (-t)^{z-1}}$se interpreta como${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$⁠ . La fórmula de reflexión conduce a la expresión estrechamente relacionada$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$que es válido siempre que${\displaystyle z\not \in \mathbb {Z} }$⁠ .

La función gamma también puede representarse mediante una suma de dos fracciones continuas : ^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$donde​${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$⁠ .

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión en serie de Fourier para${\displaystyle 0<z<1:}$$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$ que durante mucho tiempo se atribuyó a Ernst Kummer , quien la derivó en 1847. ^{[ 32 ] [ 33 ]} Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten derivó esta serie por primera vez en 1842. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

En 1840 Joseph Ludwig Raabe demostró que$${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$En particular, si${\displaystyle a=0}$entonces$${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\frac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, lo que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para${\displaystyle a\to \infty }$da la fórmula.

Una notación alternativa introducida por Gauss es la${\displaystyle \Pi }$-función, una versión desplazada de la función gamma: $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ de modo que${\displaystyle \Pi (n)=n!}$para cada entero no negativo${\displaystyle n}$⁠ .

Utilizando la función pi, la fórmula de reflexión es: $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$utilizando la función sinc normalizada ; mientras que el teorema de la multiplicación se convierte en: $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

La función gamma recíproca desplazada a veces se denota como${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}}$⁠ , una función completa .

El volumen de un n -elipsoide con radios r ₁ , ..., r _n se puede expresar como$${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

• En la primera integral que define la función gamma, los límites de integración están fijos. La función gamma incompleta superior se obtiene permitiendo que varíe el límite inferior de integración:$${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$Existe una función gamma incompleta inferior similar.
• La función gamma está relacionada con la función beta de Euler mediante la fórmula$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• La derivada logarítmica de la función gamma se llama función digamma ; las derivadas de orden superior son las funciones poligamma .
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas , un tipo de suma exponencial .
• La función gamma recíproca es una función completa y se ha estudiado como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función zeta de Riemann ,${\displaystyle \zeta (z)}$⁠ .$${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$También aparece en la siguiente fórmula:$${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$que es válido solo para${\displaystyle \Re (z)>1}$⁠ .
  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula debida a Lerch:$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$dónde${\displaystyle \zeta _{H}}$es la función zeta de Hurwitz ,${\displaystyle \zeta }$es la función zeta de Riemann y la prima ( ′ ) denota la diferenciación en la primera variable.
• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada . Por ejemplo, los momentos de esa función son:$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)&=&{\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\[6pt]\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\[6pt]\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\[6pt]\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)&=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\[6pt]\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\[6pt]\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)&=&{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\[6pt]\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\[6pt]\Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\[6pt]\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$(These numbers can be found in the OEIS.^{[36][37][38][39][40][41]} The values presented here are truncated rather than rounded.) The complex-valued gamma function is undefined for non-positive integers, but in these cases the value can be defined in the Riemann sphere as ⁠${\displaystyle \infty }$⁠. The reciprocal gamma function is well defined and analytic at these values (and in the entire complex plane):$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

El teorema de Bohr-Mollerup establece que, entre todas las funciones que extienden las funciones factoriales a los números reales positivos, solo la función gamma es log-convexa , es decir, su logaritmo natural es convexo en el eje real positivo. Otra caracterización la proporciona el teorema de Wielandt .

La función gamma es la única función que satisface simultáneamente

1. ⁠${\displaystyle \Gamma (1)=1}$⁠ ,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$para todos los números complejos${\displaystyle z}$excepto los enteros no positivos, y,
3. para entero n ,${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$para todos los números complejos${\displaystyle z}$⁠ . ^{[ 1 ]}

En cierto sentido, la función log-gamma es la forma más natural; hace más evidentes algunos atributos intrínsecos de la función. Un ejemplo notable es la serie de Taylor de logΓ alrededor de 1: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$ con​${\displaystyle \zeta (k)}$⁠ que denota la función zeta de Riemann en ⁠${\displaystyle k}$⁠ .