Función gamma múltiple

En matemáticas, la función gamma múltiple${\displaystyle \Gamma _{N}}$es una generalización de la función gamma de Euler y la función G de Barnes . La función gamma doble fue estudiada por Barnes (1901) . Al final de este trabajo, mencionó la existencia de múltiples funciones gamma que la generalizan, y las estudió con mayor profundidad en Barnes (1904) .

funciones gamma dobles${\displaystyle \Gamma _{2}}$están estrechamente relacionadas con la función q-gamma y las funciones triple gamma.${\displaystyle \Gamma _{3}}$están relacionadas con la función gamma elíptica .

Para${\displaystyle \Re a_{i}>0}$, dejar

${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}$

dónde${\displaystyle \zeta _{N}}$es la función zeta de Barnes . (Esta difiere en una constante de la definición original de Barnes).

Considerada como una función meromorfa de${\displaystyle w}$,${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$no tiene ceros. Tiene polos en${\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}$para enteros no negativos${\displaystyle n_{i}}$Estos polos son simples a menos que algunos de ellos coincidan. Salvo la multiplicación por la exponencial de un polinomio,${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$es la única función meromorfa de orden finito con estos ceros y polos .

• ${\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}$

En el caso de la función Gamma doble, el comportamiento asintótico para${\displaystyle w\to \infty }$es conocido, y el factor principal es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})\ {\underset {w\to \infty }{\sim }}\ w^{\frac {w^{2}}{2a_{1}a_{2}}}\quad {\text{para}}\quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\in \mathbb {C} \backslash (-\infty ,0]\ ,\\w\in \mathbb {C} \backslash \left(\mathbb {R} _{+}a_{1}+\mathbb {R} _{+}a_{2}\right)\ .\end{array}}\right.}$

La función gamma múltiple tiene una representación de producto infinito que hace evidente que es meromorfa, y que también hace evidentes las posiciones de sus polos. En el caso de la función gamma doble, esta representación es ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

donde definimos el${\displaystyle w}$-coeficientes independientes

${\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

dónde${\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}$es un${\displaystyle n}$residuo de orden -ésimo en${\displaystyle s_{0}}$.

Otra representación como producto sobre${\displaystyle \mathbb {N} }$conduce a un algoritmo para calcular numéricamente la función doble Gamma. ^{[ 1 ]}

La función gamma doble con parámetros${\displaystyle 1,1}$obedece las relaciones ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}$

Está relacionada con la función G de Barnes por

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|\alpha ,\alpha )=(2\pi )^{\frac {w}{2\alpha }}\alpha ^{-{\frac {w^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {w}{\alpha }}-1}G(w/\alpha )^{-1}\ .}$

Para${\displaystyle \Re b>0}$y${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$, la función

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,}$

es invariante bajo${\displaystyle b\to b^{-1}}$y obedece las relaciones

${\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

También obedece la fórmula de multiplicación ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)=\lambda _{m,n,b}(mn)^{{\frac {1}{4}}w(b+b^{-1}-w)}\prod _{r=0}^{m-1}\prod _{s=0}^{n-1}\Gamma _{b{\sqrt {\frac {m}{n}}}}\left({\frac {w+rb+sb^{-1}}{\sqrt {mn}}}\right)}$

En particular, el caso${\displaystyle m=n=2}$es una fórmula de duplicación,

${\displaystyle \Gamma _{b}(2w)=\lambda _{b}2^{w(b+b^{-1}-2w)}\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(w+{\tfrac {b}{2}})\Gamma _{b}(w+{\tfrac {1}{2b}})\Gamma _{b}(w+{\tfrac {b}{2}}+{\tfrac {1}{2b}})}$

Para${\displaystyle \Re w>0}$, tiene la representación integral ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}$

Desde la función${\displaystyle \Gamma _{b}(w)}$, definimos la función seno doble${\displaystyle S_{b}(w)}$y la función Upsilon${\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}$por

${\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}$

Estas funciones obedecen a las relaciones

${\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}$

más las relaciones que se obtienen por${\displaystyle b\to b^{-1}}$. Para${\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}$tienen las representaciones integrales

${\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}$

Las funciones${\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}$y${\displaystyle \Upsilon _{b}}$aparecen en las funciones de correlación de la teoría de campos conformes bidimensional , con el parámetro${\displaystyle b}$estando relacionado con la carga central del álgebra de Virasoro subyacente . ^{[ 4 ]} En particular, la función de tres puntos de la teoría de Liouville se escribe en términos de la función${\displaystyle \Upsilon _{b}}$.

• Barnes, EW (1899), "La génesis de las funciones gamma dobles" , Proc. London Math. Soc. , s1-31: 358–381 , doi : 10.1112/plms/s1-31.1.358
• Barnes, EW (1899), "La teoría de la función doble gamma", Actas de la Real Sociedad de Londres , 66 ( 424–433 ): 265–268 , doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN 0370-1662 , JSTOR 116064 , S2CID 186213903   
• Barnes, EW (1901), "The Theory of the Double Gamma Function", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character , 196 ( 274– 286): 265– 387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN 0264-3952 , JSTOR 90809  
• Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374– 425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani - Barnes zeta y funciones gamma", Avances en Matemáticas , 187 (2): 362– 395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN 0001-8708 , SEÑOR 2078341  
• Ruijsenaars, SNM (2000), "Sobre las múltiples funciones zeta y gamma de Barnes" , Avances en Matemáticas , 156 (1): 107– 132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN 0001-8708 , MR 1800255