Función gamma elíptica

En matemáticas , la función gamma elíptica es una generalización de la función q-gamma , que a su vez es el q-análogo de la función gamma ordinaria . Está estrechamente relacionada con una función estudiada por Jackson (1905) y puede expresarse en términos de la función gamma triple . Está dada por

${\displaystyle \Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.}$

Obedece a varias identidades:

${\displaystyle \Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,}$

${\displaystyle \Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,}$

y

${\displaystyle \Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q)\,}$

donde θ es la función q-theta .

Cuando${\displaystyle p=0}$, esencialmente se reduce al símbolo q-Pochhammer infinito :

${\displaystyle \Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.}$

Definir

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.}$

Entonces se cumple la siguiente fórmula con${\displaystyle r=q^{n}}$( Felder y Varchenko (2002) ).

${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).}$

• Felder, G.; Varchenko, A. (2002). "Fórmulas de multiplicación para la función gamma elíptica". arXiv : math/0212155 .
• Jackson, FH (1905), "La función gamma básica y las funciones elípticas", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , 76 (508), The Royal Society: 127–144 , Bibcode : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098/rspa.1905.0011 , ISSN 0950-1207 , JSTOR 92601  
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol.  96 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 
• Ruijsenaars, SNM (1997), "Ecuaciones en diferencias analíticas de primer orden y sistemas cuánticos integrables" , Journal of Mathematical Physics , 38 (2): 1069–1146 , Bibcode : 1997JMP....38.1069R , doi : 10.1063/1.531809 , ISSN 0022-2488 , MR 1434226  
• Felder, Giovanni; Henriques, André; Rossi, Carlos A.; Zhu, Chenchang (2008). "Un gerbe para la función gamma elíptica". Revista de Matemáticas de Duke . 141 . arXiv : matemáticas/0601337 . doi : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0 . S2CID 817920 .