Función zeta de Barnes

En matemáticas , la función zeta de Barnes es una generalización de la función zeta de Riemann introducida por EW Barnes ( 1901 ) . Esta se generaliza aún más mediante la función zeta de Shintani . 

La función zeta de Barnes se define por

${\displaystyle \zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}$

donde w y a _j tienen parte real positiva y s tiene parte real mayor que N. 

Tiene una continuación meromorfa a todos los números complejos s , cuyas únicas singularidades son polos simples en s = 1, 2, ..., N. Para N  = w = a ₁ = 1 es la función zeta de Riemann.     

• Barnes, EW (1899), "La teoría de la función doble gamma. [Resumen]", Proceedings of the Royal Society of London , 66 , The Royal Society: 265–268 , doi : 10.1098/rspl.1899.0101 , ISSN 0370-1662 , JSTOR 116064 , S2CID 186213903   
• Barnes, EW (1901), "The Theory of the Double Gamma Function", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character , 196 ( 274– 286), The Royal Society: 265– 387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN 0264-3952 , JSTOR 90809  
• Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374– 425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani - Barnes zeta y funciones gamma", Avances en Matemáticas , 187 (2): 362– 395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN 0001-8708 , SEÑOR 2078341  
• Ruijsenaars, SNM (2000), "Sobre las múltiples funciones zeta y gamma de Barnes" , Avances en Matemáticas , 156 (1): 107– 132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN 0001-8708 , MR 1800255