Función Shintani zeta

En matemáticas , una función zeta de Shintani o función L de Shintani es una generalización de la función zeta de Riemann . Fueron estudiadas por primera vez por Takuro Shintani ( 1976 ) . Incluyen las funciones zeta de Hurwitz y las funciones zeta de Barnes . 

Dejar${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$sea ​​un polinomio en las variables${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{r})}$con coeficientes reales tales que${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$es un producto de polinomios lineales con coeficientes positivos, es decir,${\displaystyle P(\mathbf {x} )=P_{1}(\mathbf {x} )P_{2}(\mathbf {x} )\cdots P_{k}(\mathbf {x} )}$, dónde$${\displaystyle P_{i}(\mathbf {x} )=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{ir}x_{r}+b_{i},}$$dónde${\displaystyle a_{ij}>0}$,${\displaystyle b_{i}>0}$y${\displaystyle k=\deg P}$. La función zeta de Shintani en la variable${\displaystyle s}$está dado por (la continuación meromorfa de)$${\displaystyle \zeta (P;s)=\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(\mathbf {x} )^{s}}}.}$$

La definición de la función zeta de Shintani tiene una generalización directa a una función zeta en varias variables.${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{k})}$dado por$${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{1}(\mathbf {x} )^{s_{1}}\cdots P_{k}(\mathbf {x} )^{s_{k}}}}.}$$El caso especial cuando k  =  1 es la función zeta de Barnes .

Al igual que las funciones zeta de Shintani, las funciones zeta de Witten se definen mediante polinomios que son productos de formas lineales con coeficientes no negativos. Sin embargo, las funciones zeta de Witten no son casos especiales de las funciones zeta de Shintani porque en las funciones zeta de Witten se permite que las formas lineales tengan algunos coeficientes iguales a cero. Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle (x+1)(y+1)(x+y+2)/2}$define la función zeta de Witten de${\displaystyle SU(3)}$pero la forma lineal${\displaystyle x+1}$tiene${\displaystyle y}$-coeficiente igual a cero.

• Hida, Haruzo (1993), Teoría elemental de las funciones L y las series de Eisenstein , London Mathematical Society Student Texts, vol.  26, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43411-9, MR 1216135 , Zbl 0942.11024  
• Shintani, Takuro (1976), "Sobre la evaluación de funciones zeta de cuerpos numéricos algebraicos totalmente reales en enteros no positivos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 23 (2): 393– 417, ISSN 0040-8980 , MR 0427231 , Zbl 0349.12007