Función zeta de Hurwitz

En matemáticas , la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zeta . Se define formalmente para variables complejas s con Re( s ) > 1 y a ≠ 0, −1, −2, … por

${\displaystyle \zeta(s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.}$

Esta serie es absolutamente convergente para los valores dados de s y a y puede extenderse a una función meromórfica definida para todo s ≠ 1. La función zeta de Riemann es ζ( s ,1) . La función zeta de Hurwitz recibe su nombre de Adolf Hurwitz , quien la introdujo en 1882. ^[1]

La función zeta de Hurwitz tiene una representación integral

${\displaystyle \zeta(s,a)={\frac {1}{\Gamma(s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx}$

para y (Esta integral puede verse como una transformada de Mellin ). La fórmula se puede obtener, aproximadamente, escribiendo ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.}$

${\displaystyle \zeta (s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\int _ {0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^ {\infty }y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac {dy}{y}}}$

y luego intercambiando la suma y la integral. ^[3]

La representación integral anterior se puede convertir en una representación integral de contorno .

${\displaystyle \zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s- 1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz}$

donde es un contorno de Hankel en sentido antihorario alrededor del eje real positivo, y la rama principal se utiliza para la exponenciación compleja . A diferencia de la integral anterior, esta integral es válida para todos los s y, de hecho, es una función completa de s . ^[4]${\estilo de visualización C}$ $estilo de visualización (-z)^{s-1}}$

La representación integral del contorno proporciona una continuación analítica de para todos los . En , tiene un polo simple con residuo . ^[5]${\displaystyle \zeta(s,a)}$${\displaystyle s\neq 1}$${\estilo de visualización s=1}$ ${\estilo de visualización 1}$

La función zeta de Hurwitz satisface una identidad que generaliza la ecuación funcional de la función zeta de Riemann : ^[6]

${\displaystyle \zeta(1-s,a)={\frac {\Gamma(s)}{(2\pi)^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),}$

válido para Re( s ) > 1 y 0 < a ≤ 1. La ecuación funcional zeta de Riemann es el caso especial a = 1: ^[7]

${\displaystyle \zeta(1-s)={\frac {2\Gamma(s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta(s)}$

La fórmula de Hurwitz también se puede expresar como ^[8]

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)}$

(para Re( s ) < 0 y 0 < a ≤ 1).

La fórmula de Hurwitz tiene una variedad de diferentes pruebas. ^[9] Una prueba utiliza la representación de integración de contorno junto con el teorema del residuo . ^{[6] [8]} Una segunda prueba utiliza una identidad de función theta , o equivalentemente la suma de Poisson . ^[10] Estas pruebas son análogas a las dos pruebas de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann en el artículo de Riemann de 1859. Otra prueba de la fórmula de Hurwitz utiliza la suma de Euler-Maclaurin para expresar la función zeta de Hurwitz como una integral.

${\displaystyle \zeta(s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloorx\rfloor-x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx}$

(−1 < Re( s ) < 0 y 0 < a ≤ 1) y luego expandiendo el numerador como una serie de Fourier . ^[11]

Cuando a es un número racional, la fórmula de Hurwitz conduce a la siguiente ecuación funcional : Para números enteros , ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$

se cumple para todos los valores de s . ^[12]

Esta ecuación funcional se puede escribir como otra forma equivalente:

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[e^{\frac {\pi is}{2}}e^{-{\frac {2\pi ikm}{n}}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)+e^{-{\frac {\pi is}{2}}}e^{\frac {2\pi ikm}{n}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$.

Estrechamente relacionadas con la ecuación funcional están las siguientes sumas finitas, algunas de las cuales pueden evaluarse en forma cerrada.

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)}$

donde m es un entero positivo mayor que 2 y s es complejo, véase por ejemplo el Apéndice B en ^{[13] .}

Helmut Hasse dio en 1930 una representación de la serie convergente de Newton definida para a (real) > 0 y cualquier complejo s ≠ 1 : ^[14]

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}.}$

Esta serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del plano s a una función completa . La suma interna puede entenderse como la n -ésima diferencia hacia delante de ; es decir, ${\displaystyle a^{1-s}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(a+k)^{1-s}}$

donde Δ es el operador de diferencia hacia delante . Por lo tanto, se puede escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}}$

La derivada parcial de la zeta en el segundo argumento es un desplazamiento :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).}$

Por tanto, la serie de Taylor se puede escribir como:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

Alternativamente,

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}$

con . ^[15]${\displaystyle |q|<1}$

Estrechamente relacionada está la fórmula Stark-Keiper :

${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}$

que es válida para un entero N y un s arbitrario . Véase también la fórmula de Faulhaber para una relación similar en sumas finitas de potencias de números enteros.

La expansión de la serie de Laurent se puede utilizar para definir constantes de Stieltjes generalizadas que ocurren en la serie.

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$

En particular, el término constante viene dado por

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,a)-{\frac {1}{s-1}}\right]=\gamma _{0}(a)={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)}$

donde es la función gamma y es la función digamma . Como caso especial, . ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$${\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }$

La transformada de Fourier discreta de la función zeta de Hurwitz con respecto al orden s es la función chi de Legendre . ^[16]

Los valores de ζ ( s , a ) en s = 0, −1, −2, ... están relacionados con los polinomios de Bernoulli : ^[17]

${\displaystyle \zeta (-n,a)=-{\frac {B_{n+1}(a)}{n+1}}.}$

Por ejemplo, el caso da ^[18]${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a.}$

La derivada parcial con respecto a s en s = 0 está relacionada con la función gamma:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,a)\right|_{s=0}=\log \Gamma (a)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

En particular, la fórmula se debe a Lerch . ^{[19] [20]}${\textstyle \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ).}$

Si es la función theta de Jacobi , entonces ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

Se cumple para y z complejos, pero no para un entero. Para z = n un entero, esto se simplifica a ${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

donde ζ aquí es la función zeta de Riemann . Nótese que esta última forma es la ecuación funcional para la función zeta de Riemann, como la dio originalmente Riemann. La distinción basada en que z sea un entero o no explica el hecho de que la función theta de Jacobi converge a la función delta periódica o peine de Dirac en z como . ${\displaystyle t\rightarrow 0}$

En argumentos racionales la función zeta de Hurwitz puede expresarse como una combinación lineal de funciones L de Dirichlet y viceversa: La función zeta de Hurwitz coincide con la función zeta de Riemann ζ( s ) cuando a  = 1, cuando a  = 1/2 es igual a (2 ^s −1)ζ( s ), ^[21] y si a  =  n / k con k  > 2, ( n , k ) > 1 y 0 <  n  <  k , entonces ^[22]

${\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$

la suma que recorre todos los caracteres de Dirichlet mod k . En la dirección opuesta tenemos la combinación lineal ^[21]

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}$

También existe el teorema de la multiplicación.

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

De la cual una generalización útil es la relación de distribución ^[23]

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$

(Esta última forma es válida siempre que q sea un número natural y 1 −  qa no lo sea).

Si a = 1 la función zeta de Hurwitz se reduce a la propia función zeta de Riemann ; si a = 1/2 se reduce a la función zeta de Riemann multiplicada por una función simple del argumento complejo s ( vide supra ), lo que conduce en cada caso al difícil estudio de los ceros de la función zeta de Riemann. En particular, no habrá ceros con parte real mayor o igual a 1. Sin embargo, si 0 < a < 1 y a ≠ 1/2, entonces hay ceros de la función zeta de Hurwitz en la franja 1 < Re( s ) < 1 + ε para cualquier número real positivo ε. Esto fue demostrado por Davenport y Heilbronn para a , racional o irracional trascendental ^[24] y por Cassels para a , irracional algebraico ^{[21] [25]}

La función zeta de Hurwitz se presenta en varias identidades sorprendentes en valores racionales. ^[26] En particular, valores en términos de los polinomios de Euler : ${\displaystyle E_{n}(x)}$

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

y

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

Uno también tiene

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

lo cual es válido para . Aquí, y se definen mediante la función chi de Legendre como ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$${\displaystyle C_{\nu }(x)}$${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle \chi _{\nu }}$

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

y

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Para valores enteros de ν, estos pueden expresarse en términos de polinomios de Euler. Estas relaciones pueden derivarse empleando la ecuación funcional junto con la fórmula de Hurwitz, que se indica anteriormente.

La función zeta de Hurwitz se encuentra en diversas disciplinas. La más común es la teoría de números , donde su teoría es la más profunda y desarrollada. Sin embargo, también se encuentra en el estudio de fractales y sistemas dinámicos . En estadística aplicada , se encuentra en la ley de Zipf y en la ley de Zipf-Mandelbrot . En física de partículas , se encuentra en una fórmula de Julian Schwinger ^[27], que da un resultado exacto para la tasa de producción de pares de un electrón de Dirac en un campo eléctrico uniforme.

La función zeta de Hurwitz con un entero positivo m está relacionada con la función poligamma :

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$

La función zeta de Barnes generaliza la función zeta de Hurwitz.

El trascendente de Lerch generaliza el zeta de Hurwitz:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,}$

Función hipergeométrica

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$dónde${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Función G de Meijer

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

• Apostol, TM (2010), "Función zeta de Hurwitz", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Véase el capítulo 12 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (1964), Dover Publications, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 . (Véase el párrafo 6.4.10 para conocer la relación con la función poligamma). 
• Davenport, Harold (1967). Teoría de números multiplicativos . Lecciones de matemáticas avanzadas. Vol. 1. Chicago: Markham. Zbl  0159.06303.
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• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que involucra la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 .
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press .

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