fórmula de suma de Poisson

En matemáticas , la fórmula de sumación de Poisson es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de su transformada de Fourier continua . Por consiguiente, la suma periódica de una función queda completamente definida por muestras discretas de la transformada de Fourier original. Y, a la inversa, la suma periódica de la transformada de Fourier de una función queda completamente definida por muestras discretas de la función original. La fórmula de sumación de Poisson fue descubierta por Siméon Denis Poisson y a veces se la denomina resuma de Poisson .

Para una función suave y de valores complejos${\displaystyle s(x)}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$que decae en el infinito con todas las derivadas ( función de Schwartz ), la versión más simple de la fórmula de suma de Poisson establece que

dónde${\displaystyle S}$es la transformada de Fourier de${\displaystyle s}$, es decir,${\textstyle S(\xi )\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx.}$La fórmula de sumatoria se puede reformular de muchas maneras equivalentes, pero una sencilla es la siguiente. ^{[ 1 ]} Supongamos que${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$( L ¹ para espacio L ¹ ) y${\displaystyle \Lambda }$es una red unimodular en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Luego la periodización de${\displaystyle f}$, que se define como la suma${\textstyle f_{\Lambda }(x)=\sum _{\lambda \in \Lambda }f(x+\lambda ),}$converge en el${\displaystyle L^{1}}$norma de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Lambda }$a un${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}/\Lambda )}$función que tiene serie de Fourier$${\displaystyle f_{\Lambda }(x)\sim \sum _{\lambda '\in \Lambda '}{\hat {f}}(\lambda ')e^{2\pi i\lambda 'x}}$$dónde${\displaystyle \Lambda '}$es la red dual a${\displaystyle \Lambda }$. (Tenga en cuenta que la serie de Fourier del lado derecho no tiene por qué converger en${\displaystyle L^{1}}$o de otro modo.)

Dejar${\textstyle s\left(x\right)}$ser una función suave y de valores complejos en${\displaystyle \mathbb {R} }$que decae en el infinito con todas las derivadas ( función de Schwartz ) y su transformada de Fourier${\displaystyle S\left(f\right)}$, definido como $${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)e^{-2\pi ixf}dx.}$$ Entonces${\displaystyle S(f)}$también es una función de Schwartz, y tenemos la relación recíproca que $${\displaystyle s(x)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{2\pi ixf}df.}$$

La periodización de${\displaystyle s(x)}$con período${\displaystyle P>0}$es dado por $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP).}$$ Asimismo, la periodización de${\displaystyle S(f)}$con período${\displaystyle 1/T}$, dónde${\displaystyle T>0}$, es $${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).}$$

Entonces la ecuación 1 ,${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k),}$es un caso especial (P=1, x=0) de esta generalización: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

que es una expansión en serie de Fourier con coeficientes que son muestras de la función${\displaystyle S(f).}$Por el contrario, la ecuación 2 se deduce de la ecuación 1 aplicando el comportamiento conocido de la transformada de Fourier bajo traslaciones (ver las propiedades de la transformada de Fourier, escalado temporal y desplazamiento).

Similarmente:

también conocida como la importante transformada de Fourier de tiempo discreto .

Demostramos que, ^{[ 2 ]} si${\displaystyle s\in L^{1}(\mathbb {R} )}$, entonces la serie de Fourier (posiblemente divergente) de${\displaystyle s_{P}(x)}$es $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right)e^{2\pi i{\frac {k}{P}}x}.}$$ Cuando${\displaystyle s(x)}$es una función de Schwartz, lo que establece la igualdad en la ecuación 2 de la sección anterior.

Primero, la periodización${\displaystyle s_{P}(x)}$converge en${\displaystyle L^{1}}$norma a un${\displaystyle L^{1}([0,P])}$función que es periódica en${\displaystyle \mathbb {R} }$y por lo tanto integrable en cualquier intervalo de longitud${\displaystyle P.}$Por lo tanto, debemos demostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$son${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right)}$dónde${\textstyle S\left(f\right)}$es la transformada de Fourier de${\textstyle s\left(x\right)}$. (No${\textstyle S\left[k\right]}$, que es el coeficiente de Fourier de${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$.)

Partiendo de la definición de los coeficientes de Fourier, tenemos :

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

donde el intercambio de suma con integración se justifica por la convergencia dominada . Con un cambio de variables (${\displaystyle \tau =x+nP}$), esto se convierte en lo siguiente, completando la demostración de la ecuación 2 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{(n+1)P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}.}$$

Esto demuestra la ecuación 2 para${\displaystyle L^{1}}$funciones, en el sentido de que el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) del lado izquierdo. De manera similar, si${\displaystyle S(f)}$está en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$, una prueba similar muestra la versión correspondiente de la ecuación 3 .

Finalmente, si${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$tiene una serie de Fourier absolutamente convergente , entonces la ecuación 2 se cumple como una igualdad casi en todas partes. Este es el caso, en particular, cuando${\displaystyle s(x)}$es una función de Schwartz. De manera similar, la ecuación 3 se cumple cuando${\displaystyle S(f)}$es una función de Schwartz.

Estas ecuaciones pueden interpretarse en el lenguaje de las distribuciones ^{[ 4 ] [ 5 ] : §7.2} para una función${\displaystyle s}$cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes (véase la función de Schwartz ). La fórmula de suma de Poisson surge como un caso particular del Teorema de Convolución en distribuciones temperadas , utilizando la distribución de peine de Dirac y su serie de Fourier :

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T).}$$

En otras palabras, la periodización de un delta de Dirac${\displaystyle \delta ,}$El resultado es un peine de Dirac , que corresponde a la discretización de su espectro, el cual es siempre uno. Por lo tanto, se trata nuevamente de un peine de Dirac, pero con incrementos recíprocos.

Para el caso${\displaystyle T=1,}$La ecuación 1 se deduce fácilmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

Similarmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

O bien: ^{[ 6 ] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

La fórmula de suma de Poisson también se puede demostrar conceptualmente utilizando la compatibilidad de la dualidad de Pontryagin con secuencias exactas cortas como ^{[ 7 ].}${\textstyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$

La ecuación 2 se mantiene siempre que${\displaystyle s(x)}$es una función integrable continua que satisface${\textstyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$para algunos${\displaystyle C>0,\delta >0}$y cada${\displaystyle x.}$^{[ 8 ] [ 9 ]} Nótese que tales${\displaystyle s(x)}$es uniformemente continua , esto junto con la suposición de decaimiento en${\displaystyle s}$, muestran que la serie define${\displaystyle s_{_{P}}}$converge uniformemente a una función continua . La ecuación 2 se cumple en el sentido estricto de que ambos lados convergen uniforme y absolutamente al mismo límite. ^{[ 9 ]}

La ecuación 2 se cumple puntualmente bajo la suposición estrictamente más débil de que${\displaystyle s}$tiene variación limitada y ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

La serie de Fourier en el lado derecho de la ecuación 2 se entiende entonces como un límite (condicionalmente convergente) de sumas parciales simétricas.

Como se muestra arriba, la ecuación 2 se cumple bajo el supuesto mucho menos restrictivo de que${\displaystyle s(x)}$está en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$, pero entonces es necesario interpretarlo en el sentido de que el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) de${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$^{[ 3 ]} En este caso, se puede extender la región donde se cumple la igualdad considerando métodos de sumabilidad comola sumabilidad de Cesàro. Al interpretar la convergencia de esta maneraEc.2, caso${\displaystyle x=0,}$se mantiene bajo las condiciones menos restrictivas que${\displaystyle s(x)}$es integrable y 0 es un punto de continuidad de${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$Sin embargo, la ecuación 2 puede no cumplirse incluso cuando ambas${\displaystyle s}$y${\displaystyle S}$son integrables y continuas, y las sumas convergen absolutamente. ^{[ 10 ]}

La fórmula de sumación de Poisson es válida en el espacio euclidiano de dimensión arbitraria. Sea${\displaystyle \Lambda }$ser la red en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$que consta de puntos con coordenadas enteras. Para una función${\displaystyle s}$en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$, considere la serie dada al sumar las traslaciones de${\displaystyle s}$por elementos de${\displaystyle \Lambda }$:

$${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

Teorema para${\displaystyle s}$en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$, la serie anterior converge puntualmente casi en todas partes y define una${\displaystyle \Lambda }$- función periódica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, por lo tanto, una función${\displaystyle \mathbb {P} s({\bar {x}})}$en el toroide${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda .}$ae${\displaystyle \mathbb {P} s}$se encuentra en${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}$con${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{L_{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}\leq \|s\|_{L_{1}(\mathbb {R} )}.}$ Además, para todos${\displaystyle \nu }$en${\displaystyle \Lambda ,}$

${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \nu \cdot {\bar {x}}}d{\bar {x}}}$

(la transformada de Fourier de${\displaystyle \mathbb {P} s}$en el toroide${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda }$) es igual a

${\displaystyle S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}s(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx}$

(la transformada de Fourier de${\displaystyle s}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$).

Cuando${\displaystyle s}$es además continuo, y ambos${\displaystyle s}$y${\displaystyle S}$Si decaen lo suficientemente rápido en el infinito, entonces se puede "invertir" la serie de Fourier de vuelta a su dominio.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$y hacer una declaración más contundente. Más precisamente, si

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

para algún C , δ > 0, entonces ^{[ 9 ] : VII §2}

$${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi \nu \cdot x},}$$

donde ambas series convergen absoluta y uniformemente en Λ. Cuando d = 1 y x = 0, esto da la ecuación 1 anterior.

De forma más general, una versión de la afirmación es válida si Λ se reemplaza por una red más general en un espacio vectorial de dimensión finita.${\displaystyle V}$. Elija una medida invariante a la traslación${\displaystyle m}$en${\displaystyle V}$Es único salvo escalar positivo. De nuevo para una función${\displaystyle s\in L_{1}(V,m)}$definimos la periodización

${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )}$

como se indicó anteriormente.

La red dual${\displaystyle \Lambda '}$se define como un subconjunto del espacio vectorial dual${\displaystyle V'}$que se evalúa como enteros en la red${\displaystyle \Lambda }$o alternativamente, por la dualidad de Pontryagin , como los personajes de${\displaystyle V}$que contienen${\displaystyle \Lambda }$en el núcleo. Entonces la afirmación es que para todo${\displaystyle \nu \in \Lambda '}$la transformada de Fourier${\displaystyle \mathbb {P} S}$de la periodización${\displaystyle \mathbb {P} s}$como una función en${\displaystyle V/\Lambda }$y la transformada de Fourier${\displaystyle S}$de${\displaystyle s}$en${\displaystyle V}$están relacionados entre sí mediante una normalización adecuada.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} S(\nu )&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \langle \nu ,{\bar {x}}\rangle }m(d{\bar {x}})\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V}s(x)e^{-i2\pi \langle \nu ,x\rangle }m(dx)\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}S(\nu )\end{aligned}}}$

Nótese que el lado derecho es independiente de la elección de la medida invariante.${\displaystyle \mu }$. Si${\displaystyle s}$y${\displaystyle S}$son continuos y tienden a cero más rápido que${\displaystyle 1/r^{\dim(V)+\delta }}$entonces

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda +x)=\sum _{\nu \in \Lambda '}\mathbb {P} S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }}$

En particular

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda )={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )}$

Esto se aplica en la teoría de las funciones theta y es un método posible en la geometría de los números . De hecho, en trabajos más recientes sobre el conteo de puntos reticulares en regiones, se utiliza de forma rutinaria: sumar la función indicadora de una región D sobre los puntos reticulares es precisamente la cuestión, de modo que el lado izquierdo de la fórmula de suma es lo que se busca y el lado derecho es algo que se puede abordar mediante análisis matemático .

• Análisis de Fourier §  Resumen
• Fórmula de inversión de Post
• Fórmula de Voronoi
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Fórmulas explícitas para funciones L