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Método de imágenes

El método de las imágenes (o método de las imágenes especulares ) es una herramienta matemática para resolver ecuaciones diferenciales , en la que las condiciones de contorno se...

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El método de las imágenes (o método de las imágenes especulares ) es una herramienta matemática para resolver ecuaciones diferenciales , en la que las condiciones de contorno se satisfacen combinando una solución no restringida por dichas condiciones con su imagen especular, posiblemente ponderada. Generalmente, las singularidades originales se encuentran dentro del dominio de interés, pero la función se ajusta para satisfacer las condiciones de contorno colocando singularidades adicionales fuera de dicho dominio. Típicamente, la ubicación de estas singularidades adicionales se determina como la ubicación virtual de las singularidades originales, vista desde un espejo situado en la ubicación de las condiciones de contorno. Lo más común es que el espejo sea un hiperplano o una hiperesfera .

El método de imágenes también se puede utilizar para resolver problemas discretos con condiciones de contorno, como por ejemplo contar el número de caminatas aleatorias discretas restringidas .

Método de cargas de imagen

El campo de una carga positiva sobre una superficie conductora plana, hallado mediante el método de las imágenes.

El método de cargas imagen se utiliza en electrostática para calcular o visualizar de forma sencilla la distribución del campo eléctrico de una carga en las proximidades de una superficie conductora. Se basa en el hecho de que la componente tangencial del campo eléctrico en la superficie de un conductor es cero, y que un campo eléctrico E en una región determinada está definido unívocamente por su componente normal sobre la superficie que delimita dicha región (el teorema de unicidad ). [ 1 ]

Sistemas imán-superconductor

Un dipolo magnético sobre la superficie superconductora. El campo entre el imán y la superficie es el mismo que entre este imán y uno simétrico.

El método de las imágenes también puede utilizarse en magnetostática para calcular el campo magnético de un imán cercano a una superficie superconductora. El superconductor en el llamado estado de Meissner es un diamagneto ideal al que no penetra el campo magnético. Por lo tanto, la componente normal del campo magnético en su superficie debe ser cero. En consecuencia, la imagen del imán debe ser simétrica. Por lo tanto, la fuerza entre el imán y la superficie superconductora es repulsiva.

En comparación con el caso del dipolo de carga sobre una superficie conductora plana, el vector de magnetización reflejado puede considerarse como resultado de un cambio de signo adicional de un vector axial .

Para tener en cuenta el fenómeno de fijación del flujo magnético en los superconductores de tipo II , se puede utilizar el método de la imagen especular congelada . [ 2 ]

Transporte de masa en flujos ambientales con dominios no infinitos

Los ingenieros ambientales suelen estar interesados ​​en la reflexión (y a veces la absorción) de una columna de contaminantes al chocar contra un límite impenetrable (sin flujo). Una forma rápida de modelar esta reflexión es mediante el método de las imágenes.

Las reflexiones, o imágenes , están orientadas en el espacio de tal manera que reemplazan perfectamente cualquier masa (de la pluma real) que pasa a través de un límite dado. [ 3 ] Un solo límite requerirá una sola imagen. Dos o más límites producen imágenes infinitas. Sin embargo, para los fines de modelar el transporte de masa, como la propagación de un derrame de contaminantes en un lago, puede ser innecesario incluir un conjunto infinito de imágenes cuando hay múltiples límites relevantes. Por ejemplo, para representar la reflexión dentro de un cierto umbral de precisión física, se podría optar por incluir solo las imágenes primaria y secundaria.

El caso más simple es un único límite en un espacio unidimensional. En este caso, solo es posible una imagen. Si, con el paso del tiempo, una masa se aproxima al límite, entonces una imagen puede describir adecuadamente el reflejo de esa masa al otro lado del límite.

En un instante (t1), una masa presenta una distribución aproximadamente gaussiana a la derecha del límite impenetrable en un espacio unidimensional. En un instante posterior (t2), la masa se ha difundido a través del límite, y la masa perdida se refleja de vuelta al otro lado del límite mediante la imagen primaria. Cabe destacar que el centro de masa no cambia con el tiempo, ya que no hay advección, solo difusión. El eje vertical representa la concentración esperada (del contaminante), y el eje horizontal, la dirección x.

Otro ejemplo sencillo es un único límite en un espacio bidimensional. De nuevo, al haber un solo límite, basta con una sola imagen. Esto describe una chimenea, cuyos gases de escape se reflejan en la atmósfera al chocar contra el suelo impenetrable, y que, por lo demás, es prácticamente ilimitada.

Esta es una imagen de una columna de contaminantes que emana de una chimenea en un espacio bidimensional. La chimenea y su columna se reflejan a través del eje x para tener en cuenta la masa del contaminante que rebota y se refleja (perfectamente) en el límite (el suelo). Cualquier masa que se pierda de la columna original se reemplaza por la imagen. El eje vertical corresponde al eje z, y el eje horizontal al eje x.

Finalmente, consideremos una liberación masiva en un espacio unidimensional delimitado a izquierda y derecha por fronteras impenetrables. Existen dos imágenes primarias, cada una reemplazando la masa de la liberación original que se refleja a través de cada frontera. Hay dos imágenes secundarias, cada una reemplazando la masa de una de las imágenes primarias que fluye a través de la frontera opuesta. También hay dos imágenes terciarias (que reemplazan la masa perdida por las imágenes secundarias), dos imágenes cuaternarias (que reemplazan la masa perdida por las imágenes terciarias), y así sucesivamente hasta el infinito.

Liberación masiva con dos límites impenetrables en un espacio unidimensional. El eje vertical representa la concentración esperada (del contaminante), y el eje horizontal, la dirección x.

Para un sistema dado, una vez que todas las imágenes están cuidadosamente orientadas, el campo de concentración se obtiene sumando las liberaciones de masa (la pluma real más todas las imágenes) dentro de los límites especificados. Este campo de concentración solo es físicamente preciso dentro de los límites; el campo fuera de ellos no es físico y resulta irrelevante para la mayoría de los fines de ingeniería.

Matemáticas para casos continuos

Este método es una aplicación específica de las funciones de Green . El método de imágenes funciona bien cuando el límite es una superficie plana y la distribución tiene un centro geométrico. Esto permite una simple reflexión tipo espejo de la distribución para satisfacer una variedad de condiciones de contorno. Considere el caso simple 1D ilustrado en el gráfico donde hay una distribución de⟨do⟩{\displaystyle \langle c\rangle }como función deincógnita{\displaystyle x}y un único límite situado enincógnitab{\displaystyle x_{b}}con el dominio real tal queincógnita≥incógnitab{\displaystyle x\geq x_{b}}y el dominio de la imagenincógnita<incógnitab{\displaystyle x<x_{b}}Consideremos la solución.F(±incógnita+incógnita0,t){\displaystyle f(\pm x+x_{0},t)}para satisfacer la ecuación diferencial lineal para cualquierincógnita0{\displaystyle x_{0}}, pero no necesariamente la condición de contorno.

Cabe señalar que estas distribuciones son típicas en modelos que asumen una distribución gaussiana . Esto es particularmente común en ingeniería ambiental , especialmente en flujos atmosféricos que utilizan modelos de pluma gaussiana .

Refleja perfectamente las condiciones de contorno.

La formulación matemática de una condición de contorno perfectamente reflectante es la siguiente: ∇y(incógnita)⋅norte=0{\displaystyle \nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =0}

Esto indica que la derivada de nuestra función escalary{\displaystyle y}no tendrá derivada en la dirección normal a una pared. En el caso unidimensional, esto se simplifica a: d⟨do⟩dincógnita=0{\displaystyle {\frac {d\langle c\rangle }{dx}}=0}

Esta condición se refuerza con imágenes positivas para que:⟨do⟩=F(incógnita−incógnita0,t)+F(−incógnita+(incógnitab−(incógnita0−incógnitab)),t){\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)+f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)} donde el−incógnita+(incógnitab−(incógnita0−incógnitab)){\displaystyle -x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b}))}traduce y refleja la imagen en el lugar. Tomando la derivada con respecto aincógnita{\displaystyle x}: d⟨do⟩dincógnita|incógnitab=dF(incógnita−incógnita0,t)dincógnita|incógnitab+dF(−incógnita+(incógnitab−(incógnita0−incógnitab)),t)dincógnita|incógnitab=dF(incógnita,t)dincógnita|incógnitab−incógnita0−dF(incógnita,t)dincógnita|incógnitab−incógnita0=0{\displaystyle \left.{\frac {d\langle c\rangle }{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x-x_{0},t)}{dx}}\right|_{x_{b}}+\left.{\frac {df(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}-\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}=0}

Por lo tanto, se cumple la condición de contorno de reflexión perfecta.

Condiciones de contorno perfectamente absorbentes

La formulación de una condición de contorno perfectamente absorbente es la siguiente:y(incógnitab)=0{\displaystyle y(x_{b})=0}

Esta condición se impone mediante una imagen especular negativa: ⟨do⟩=F(incógnita−incógnita0,t)−F(−incógnita+(incógnitab−(incógnita0−incógnitab)),t){\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)-f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}

Y: ⟨do⟩|incógnitab=F(incógnitab−incógnita0,t)−F(−incógnitab+(incógnitab−(incógnita0−incógnitab)),t)=F(incógnitab−incógnita0,t)−F(incógnitab−incógnita0,t)=0{\displaystyle \langle c\rangle {\bigg |}_{x_{b}}=f(x_{b}-x_{0},t)-f(-x_{b}+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)=f(x_{b}-x_{0},t)-f(x_{b}-x_{0},t)=0}

Por lo tanto, esta condición de contorno también se satisface.

Matemáticas para casos discretos

El método de imágenes se puede utilizar en casos discretos. Por ejemplo, el número de caminatas aleatorias que comienzan en la posición 0 , dan pasos de tamaño ±1 , continúan durante un total de n pasos y terminan en la posición k viene dado por el coeficiente binomial.(norte(norte+k)/2){\displaystyle {\binom {n}{(n+k)/2}}}Suponiendo que | k | ≤ n y n + k es par. Supongamos que tenemos la condición de contorno de que los caminos están prohibidos para llegar a −1 durante cualquier parte del camino. El número de caminos restringidos se puede calcular partiendo del número de caminos no restringidos que comienzan en la posición 0 y terminan en la posición k y restando el número de caminos no restringidos que comienzan en la posición −2 y terminan en la posición k . Esto se debe a que, para cualquier número dado de pasos, exactamente la misma cantidad de caminos no restringidos con peso positivo que de caminos no restringidos con peso negativo llegarán a −1 ; son imágenes especulares entre sí. Como tal, estos caminos con peso negativo cancelan precisamente aquellos caminos con peso positivo que nuestra condición de contorno ha prohibido.

Por ejemplo, si el número de pasos es n = 2 m y la ubicación final es k = 0, entonces el número de recorridos restringidos es el número de Catalan.dometro=(2metrometro)−(2metrometro+1).{\displaystyle C_{m}={\binom {2m}{m}}-{\binom {2m}{m+1}}\,.}

Referencias

  1. ↑
  2. ↑ Kordyuk, AA (1998). "Levitación magnética para superconductores duros" (PDF) . Journal of Applied Physics . 83 (1): 610– 611. Bibcode : 1998JAP....83..610K . doi : 10.1063/1.366648 .
  3. ↑ "3.8 - Método de las imágenes" .