Función gamma multivariada

En matemáticas , la función gamma multivariada Γ _p es una generalización de la función gamma . Es útil en estadística multivariada , apareciendo en la función de densidad de probabilidad de las distribuciones de Wishart e inversa de Wishart , y en la distribución beta matricial . ^{[ 1 ]}

Tiene dos definiciones equivalentes. Una se da como la siguiente integral sobre la${\displaystyle p\times p}$matrices reales definidas positivas :

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\,\left|S\right|^{a-{\frac {p+1}{2}}}dS,}$

dónde${\displaystyle |S|}$denota el determinante de${\displaystyle S}$La otra, más útil para obtener un resultado numérico, es:

${\displaystyle \Gamma _ {p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _ {j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2).}$

En ambas definiciones,${\displaystyle a}$es un número complejo cuya parte real satisface${\displaystyle \Re (a)>(p-1)/2}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle \Gamma _{1}(a)}$se reduce a la función gamma ordinaria. La segunda de las definiciones anteriores permite obtener directamente las relaciones recursivas para${\displaystyle p\geq 2}$:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+(1-p)/2).}$

De este modo

• ${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}$

etcétera.

Esto también se puede extender a valores no enteros de${\displaystyle p}$con la expresión:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {G(a+{\frac {1}{2}})G(a+1)}{G(a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}}$

Donde G es la función G de Barnes , el producto indefinido de la función Gamma .

La función es derivada por Anderson ^{[ 2 ]} a partir de primeros principios, quien también cita trabajos anteriores de Wishart , Mahalanobis y otros.

También existe una versión de la función gamma multivariada que, en lugar de un único número complejo, toma un${\displaystyle p}$vector -dimensional de números complejos como su argumento. Generaliza la función gamma multivariada definida anteriormente en la medida en que esta última se obtiene mediante una elección particular del argumento multivariado de la primera. ^{[ 3 ]}

Podemos definir la función digamma multivariada como

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}$

y la función poligamma general como

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}$

• 1. James, A. (1964). "Distribuciones de variables matriciales y raíces latentes derivadas de muestras normales" . Annals of Mathematical Statistics . 35 (2): 475– 501. doi : 10.1214 /aoms/1177703550 . MR 0181057. Zbl 0121.36605 .  
• 2. AK Gupta y DK Nagar 1999. "Distribuciones matriciales variables". Chapman and Hall.