Función logarítmicamente convexa

En matemáticas , una función f es logarítmicamente convexa o superconvexa ^{[ 1 ]} si${\displaystyle {\log }\circ f}$, la composición del logaritmo con f , es en sí misma una función convexa .

Sea X un subconjunto convexo de un espacio vectorial real y sea f : X → R una función que toma valores no negativos . Entonces f es: 

• Convexo logarítmico si${\displaystyle {\log }\circ f}$es convexo y
• Estrictamente logarítmicamente convexa si${\displaystyle {\log }\circ f}$es estrictamente convexa.

Aquí interpretamos${\displaystyle \log 0}$como${\displaystyle -\infty }$.

Explícitamente, f es logarítmicamente convexa si y solo si, para todo x ₁ , x ₂ ∈ X y todo t ∈ [0, 1] , se cumplen las dos condiciones equivalentes siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

De manera similar, f es estrictamente logarítmicamente convexa si y solo si, en las dos expresiones anteriores, se cumple la desigualdad estricta para todo t ∈ (0, 1) .

La definición anterior permite que f sea cero, pero si f es logarítmicamente convexa y se anula en cualquier parte de X , entonces se anula en todas partes en el interior de X.

Si${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$son logarítmicamente convexas, y si${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{n}}$son números reales no negativos, entonces${\ Displaystyle f_ {1} ^ {w_ {1}} \ cdots f_ {n} ^ {w_ {n}}}$es logarítmicamente convexa.

Si${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$es cualquier familia de funciones logarítmicamente convexas, entonces${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$es logarítmicamente convexa.

Si${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$es convexo y${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$es logarítmicamente convexa y no decreciente, entonces${\displaystyle g\circ f}$es logarítmicamente convexa.

Una función f logarítmicamente convexa es una función convexa ya que es la composición de la función convexa creciente .${\displaystyle \exp }$y la función${\displaystyle \log \circ f}$, que por definición es convexa. Sin embargo, ser logarítmicamente convexa es una propiedad estrictamente más fuerte que ser convexa. Por ejemplo, la función de elevación al cuadrado${\displaystyle f(x)=x^{2}}$es convexa, pero su logaritmo${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$No lo es. Por lo tanto, la función de elevación al cuadrado no es logarítmicamente convexa.

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$es logarítmicamente convexa cuando${\displaystyle p\geq 1}$y estrictamente logarítmicamente convexa cuando${\displaystyle p>1}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$es estrictamente logarítmicamente convexa en${\displaystyle (0,\infty )}$a pesar de${\displaystyle p>0.}$
• La función gamma de Euler es estrictamente logarítmicamente convexa cuando se restringe a los números reales positivos. De hecho, según el teorema de Bohr-Mollerup , esta propiedad puede utilizarse para caracterizar la función gamma de Euler entre las posibles extensiones de la función factorial a argumentos reales.

• función cóncava logarítmica

• John B. Conway . Funciones de una variable compleja I , segunda edición. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• "Convexidad logarítmica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Niculescu, Constantin; Persson, Lars-Erik (2006), Funciones convexas y sus aplicaciones: un enfoque contemporáneo (1.ª  ed.), Springer , doi : 10.1007/0-387-31077-0 , ISBN 978-0-387-24300-9ISSN 1613-5237​ .

• Montel, Paul (1928), "Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 7 : 29– 60.

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