Función gamma inversa

Gráfica de una función gamma inversa

Representación gráfica de la función gamma inversa en el plano complejo.

En matemáticas , la función gamma inversa${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$es la función inversa de la función gamma . En otras palabras,${\displaystyle y=\Gamma ^{-1}(x)}$cuando sea${\textstyle \Gamma (y)=x}$. Por ejemplo,${\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}$. ^{[ 1 ]} Generalmente, la función gamma inversa se refiere a la rama principal con dominio en el intervalo real${\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}$y la imagen en el intervalo real${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$, dónde${\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }$^{[ 2 ]} es el valor mínimo de la función gamma en el eje real positivo y${\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }$^{[ 3 ]} es la ubicación de ese mínimo. ^{[ 4 ]}

La función gamma inversa puede definirse mediante la siguiente representación integral ^{[ 5 ].}$${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{xt}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\,,}$$ dónde${\displaystyle \mu (t)}$es una medida de Borel tal que$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \,,}$$y${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números reales con${\displaystyle b\geqq 0}$.

Dejar${\displaystyle \Gamma _ {n}^{-1}(z)}$ser el${\displaystyle n}$Rama -ésima de la función gamma, con${\displaystyle \Gamma _{0}^{-1}(z)}$denotando la rama principal. Para obtener un desarrollo en serie de la función gamma inversa, primero se puede calcular el desarrollo en serie de la función gamma recíproca.${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$cerca de los ceros en los enteros negativos, y luego invierta la serie.

Configuración${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$en la expansión entonces produce, para${\displaystyle n\geq 1}$: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{\left(n-1\right)!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n\right)}{\left(n-1\right)!^{2}z^{2}}}-{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n\right)\right)}{6\left(n-1\right)!^{3}z^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)\,,}$$dónde ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$es la función poligamma .

Esto puede justificarse rigurosamente mediante el teorema de inversión de Lagrange , que dice que si${\displaystyle z=f(w)}$donde f es analítica en un punto a y${\displaystyle f'(a)\neq 0}$, entonces lo inverso${\displaystyle w=g(z)}$se da mediante una serie de potencias ^{[ 7 ]}

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},\quad g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

Por ejemplo, para la primera rama no principal, establezca${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (x)}}}$y${\displaystyle a=0}$de tal manera que${\displaystyle f(a)=0}$La fórmula da

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\Gamma (w+1)^{n}\right].}$

Ahora, suponiendo ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$es invertible cuando se restringe a una región apropiada, estableciendo${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$da

${\displaystyle \Gamma _{1}^{-1}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{-n}}{n!}}\left[{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\Gamma (w+1)^{n}\right]_{w=0}.}$

Para calcular las ramas de la función gamma inversa, primero se puede calcular la serie de Taylor de ${\displaystyle \Gamma (x)}$cerca${\displaystyle \alpha }$. La serie puede entonces truncarse e invertirse, lo que produce aproximaciones sucesivamente mejores a${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$. Por ejemplo, tenemos la aproximación cuadrática: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\psi ^{\left(1\right)}\left(\alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$$

dónde${\displaystyle \psi ^{\left(1\right)}\left(x\right)}$es la función trigamma . La función gamma inversa también tiene la siguiente fórmula asintótica ^{[ 9 ].}$${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\,,}$$ dónde${\displaystyle W_{0}(x)}$es la función W de Lambert . La fórmula se obtiene invirtiendo la aproximación de Stirling , y por lo tanto también se puede expandir en una serie asintótica.