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Articulo de referencia

Función trigamma

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Representación cromática de la función trigamma, ψ 1 ( z ) , en una región rectangular del plano complejo. Se genera mediante el método de coloración de dominios .

En matemáticas , la función trigamma , denotada ψ 1 ( z ) o ψ (1) ( z ) , es la segunda de las funciones poligamma y se define por

ψ1(z)=d2dz2ln⁡Γ(z){\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}.

De esta definición se deduce que

ψ1(z)=ddzψ(z){\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

donde ψ ( z ) es la función digamma . También puede definirse como la suma de la serie

ψ1(z)=∑norte=0∞1(z+norte)2,{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

lo que lo convierte en un caso especial de la función zeta de Hurwitz.

ψ1(z)=ζ(2,z).{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}

Tenga en cuenta que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1 − z no es un número natural .

Cálculo

Una representación integral doble , como alternativa a las dadas anteriormente, puede derivarse de la representación en serie:

ψ1(z)=∫01∫0incógnitaincógnitaz−1y(1−incógnita)dydincógnita{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}

Utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica , la integración sobre y produce:

ψ1(z)=−∫01incógnitaz−1ln⁡incógnita1−incógnitadincógnita{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Se puede obtener una expansión asintótica en forma de serie de Laurent mediante la derivada de la expansión asintótica de la función digamma :

ψ1(z)∼ddz(ln⁡z−∑norte=1∞Bnortenorteznorte)=1z+∑norte=1∞Bnorteznorte+1=∑norte=0∞Bnorteznorte+1=1z+12z2+16z3−130z5+142z7−130z9+566z11−6912730z13+76z15⋯{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}

donde B n es el n- ésimo número de Bernoulli y elegimos B 1 = ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la relación de recurrencia.

ψ1(z+1)=ψ1(z)−1z2{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

y la fórmula de reflexión

ψ1(1−z)+ψ1(z)=π2pecado2⁡πz{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}

lo que inmediatamente da el valor de z = 1/2 :ψ1(12)=π22{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}.

Valores especiales

En valores enteros positivos tenemos que

ψ1(norte)=π26−∑k=1norte−11k2,ψ1(1)=π26,ψ1(2)=π26−1,ψ1(3)=π26−54.{\displaystyle \psi _{1}(n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}},\qquad \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\qquad \psi _{1}(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,\qquad \psi _{1}(3)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {5}{4}}.}

En valores semi-enteros positivos tenemos que

ψ1(norte+12)=π22−4∑k=1norte1(2k−1)2,ψ1(12)=π22,ψ1(32)=π22−4.{\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}},\qquad \psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}},\qquad \psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4.}

La función trigamma tiene otros valores especiales como:

ψ1(14)=π2+8GRAMO{\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}

donde G representa la constante de Catalan .

No hay raíces en el eje real de ψ 1 , pero existen infinitos pares de raíces z n , z n para Re z < 0 . Cada par de raíces se aproxima rápidamente a Re z n = − n + ⁠ 1 / 2 ⁠ y su parte imaginaria aumenta lentamente de forma logarítmica con n . Por ejemplo, z 1 = −0.4121345... + 0.5978119... i y z 2 = −1.4455692... + 0.6992608... i son las dos primeras raíces con Im( z ) > 0 .

Relación con la función Clausen

La función digamma en argumentos racionales puede expresarse en términos de funciones trigonométricas y logaritmos mediante el teorema digamma . Un resultado similar se cumple para la función trigamma, pero las funciones circulares se reemplazan por la función de Clausen . Es decir, [ 1 ]

ψ1(pagq)=π22pecado2⁡(πpag/q)+2q∑metro=1(q−1)/2pecado⁡(2πmetropagq)Cl2(2πmetroq).{\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}

Apariencia

La función trigamma aparece en esta fórmula de suma: [ 2 ]

∑norte=1∞norte2−12(norte2+12)2(ψ1(norte−i2)+ψ1(norte+i2))=−1+24πcoth⁡π2−3π24sinh2⁡π2+π412sinh4⁡π2(5+aporrear⁡π2).{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}

Véase también

Notas

  1. ↑ Lewin, L., ed. (1991). Propiedades estructurales de los polilogaritmos . American Mathematical Society. ISBN 978-0821816349.
  2. ↑ Mező, István (2013). "Algunas sumas infinitas derivadas del teorema del producto de Weierstrass". Matemáticas Aplicadas y Computación . 219 (18): 9838– 9846. doi : 10.1016/j.amc.2013.03.122 .

Referencias

  • Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas , (1964) Dover Publications, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4Véase la sección §6.4 .
  • Eric W. Weisstein. Función trigonométrica -- de MathWorld -- Un recurso web de Wolfram
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