Función pseudogamma

En matemáticas , una función pseudogamma es una función que interpola el factorial . La función gamma es la solución más famosa al problema de extender la noción del factorial más allá de los enteros positivos solamente. Sin embargo, claramente no es la única solución, ya que, para cualquier conjunto de puntos, se puede trazar un número infinito de curvas a través de esos puntos. Dicha curva, es decir, una que interpola el factorial pero no es igual a la función gamma, se conoce como una función pseudogamma. ^{[ 1 ]} Las dos funciones pseudogamma más famosas son la función gamma de Hadamard , $${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}={\frac {\Phi \left(-1,1,-x\right)}{\Gamma (-x)}}}$$ dónde${\displaystyle \Phi }$es la función zeta de Lerch y el factorial de Luschny: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \Gamma (x+1)\left(1-{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}\left({\frac {x}{2}}\left(\psi \left({\frac {x+1}{2}}\right)-\psi \left({\frac {x}{2}}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\right)\right)}$$ donde Γ( x ) denota la función gamma clásica y ψ ( x ) denota la función digamma . También se conocen otras funciones pseudogamma relacionadas. ^{[ 3 ]}

Sin embargo, al añadir condiciones a la función que interpola el factorial, obtenemos la unicidad de esta función, generalmente dada por la función Gamma. La condición más común es la convexidad logarítmica : este es el teorema de Bohr-Mollerup . Véase también el teorema de Wielandt para otras condiciones.