Lerch trascendente

En matemáticas , la función trascendente de Lerch es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo . Recibe su nombre del matemático checo Mathias Lerch , quien publicó un artículo sobre una función similar en 1887. ^{[ 1 ]} La función trascendente de Lerch viene dada por:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

Solo converge para cualquier número real${\displaystyle \alpha >0}$, dónde${\displaystyle |z|<1}$, o${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$, y${\displaystyle |z|=1}$. ^{[ 2 ]}

La función trascendente de Lerch está relacionada con diversas funciones especiales y las generaliza.

La función zeta de Lerch viene dada por:

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$

La función zeta de Hurwitz es el caso especial ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s,\alpha )}$

El polilogaritmo es otro caso especial: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}=z\Phi (z,s,1)}$

La función zeta de Riemann es un caso especial de ambas anteriores: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _ {n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\Phi (1,s,1)}$

La función eta de Dirichlet : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$

La función beta de Dirichlet : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

La función lambda de Dirichlet : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lambda (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

La función chi de Legendre : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

La integral tangente inversa : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\textrm {Ti}}_{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (-z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

Las funciones poligamma para enteros positivos n : ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

La función de Clausen : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {es decir^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {es decir^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$

El trascendente de Lerch tiene una representación integral:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

La demostración se basa en el uso de la definición integral de la función gamma para escribir

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

y luego intercambiando la suma y la integral. La representación integral resultante converge para${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$Re( s ) > 0 y Re( a ) > 0. Esto continúa analíticamente${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$a z fuera del disco unitario . La fórmula integral también es válida si z = 1, Re( s ) > 1 y Re( a ) > 0; véase la función zeta de Hurwitz . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Una representación integral de contorno viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

donde C es un contorno de Hankel en sentido antihorario alrededor del eje real positivo, que no encierra ninguno de los puntos.${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$(para k entero ) que son polos del integrando. La integral supone Re( a ) > 0. ^{[ 11 ]}

Para λ racional, el sumando es una raíz de la unidad y, por lo tanto, ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$puede expresarse como una suma finita sobre la función zeta de Hurwitz. Supongamos que${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$con${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle q>0}$. Entonces${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$y${\displaystyle \omega ^{q}=1}$.

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

Entre las diversas identidades se incluyen:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Una representación en serie para el trascendente de Lerch viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Tenga en cuenta que${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$es un coeficiente binomial .)

La serie es válida para todo s y para z complejo con Re( z ) < 1/2. Nótese una semejanza general con una representación en serie similar para la función zeta de Hurwitz. ^{[ 12 ]}

Arthur Erdélyi dio una serie de Taylor en el primer parámetro . Se puede escribir como la siguiente serie, que es válida para ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

Si n es un entero positivo, entonces

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

dónde${\displaystyle \psi (n)}$es la función digamma .

Una serie de Taylor en la tercera variable viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

dónde${\displaystyle (s)_{k}}$es el símbolo de Pochhammer .

La serie en a = − n viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Un caso especial para n = 0 tiene la siguiente serie

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$es el polilogaritmo .

Una serie asintótica para${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

para${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$ y

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

para${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

Una serie asintótica en la función gamma incompleta

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

para${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

La representación como una función hipergeométrica generalizada es ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

La función polilogaritmo${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$se define como

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

Dejar

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

Para${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$y${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$, una expansión asintótica de${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$para grandes${\displaystyle a}$y fijo${\displaystyle s}$y${\displaystyle z}$es dado por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

para${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, dónde${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$es el símbolo de Pochhammer . ^{[ 15 ]}

Dejar

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

Dejar${\displaystyle C_{n}(z,a)}$sean sus coeficientes de Taylor en${\displaystyle x=0}$. Entonces, para fijo${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$y${\displaystyle \Re s>0}$,

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

como${\displaystyle \Re a\to \infty }$. ^{[ 16 ]}

La función trascendente de Lerch se implementa como LerchPhi en Maple y Mathematica , y como lerchphi en mpmath y SymPy .

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