Función beta de Dirichlet

En matemáticas , la función beta de Dirichlet (también conocida como función beta de Catalan ) es una función especial , estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann . Se trata de una función L de Dirichlet particular , la función L para el carácter alternante de periodo cuatro.

La función beta de Dirichlet se define como

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

En cada caso, se supone que Re( s ) > 0.

Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz , es válida en todo el plano complejo s : ^[1]

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \sobre 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \sobre 4}\right)\right).}$

Otra definición equivalente, en términos del trascendente de Lerch , es:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \sobre {2}}\right),}$

lo cual es nuevamente válido para todos los valores complejos de s .

La función beta de Dirichlet también se puede escribir en términos de la función polilogaritmo :

${\displaystyle \beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).}$

También la representación en serie de la función beta de Dirichlet se puede formar en términos de la función poligamma

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}$

pero esta fórmula sólo es válida para valores enteros positivos de . ${\estilo de visualización s}$

También es el ejemplo más simple de una serie no directamente relacionada con la cual también se puede factorizar como un producto de Euler , lo que conduce a la idea del carácter de Dirichlet que define el conjunto exacto de series de Dirichlet que tienen una factorización sobre los números primos . ${\displaystyle \zeta(s)}$

Al menos para Re( s ) ≥ 1:

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

donde p ≡1 mod 4 son los primos de la forma 4 n + 1 (5,13,17,...) y p ≡3 mod 4 son los primos de la forma 4 n + 3 (3,7,11,...). Esto se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p -1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}$

La ecuación funcional extiende la función beta al lado izquierdo del plano complejo Re( s ) ≤ 0. Está dada por

${\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}$

donde Γ( s ) es la función gamma . Fue conjeturada por Euler en 1749 y demostrada por Malmsten en 1842 (véase Blagouchine, 2014).

Para cada entero impar positivo , se cumple la siguiente ecuación: ^[2]${\estilo de visualización 2n+1}$

${\displaystyle \beta (2n+1)\;=\;{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{2(2n)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}}$

donde es el n-ésimo número de Euler . Esto da como resultado: $Estilo de visualización E_{n}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}=\arctan(1),}$

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

Para números enteros impares negativos, la función es cero:

${\displaystyle \beta (-1)\;=\;\beta (-3)\;=\;\beta (-5)\;=\;...\;=\;0}$

Para cada entero par negativo se cumple: ^[2]

${\displaystyle \beta(-2n)\;=\;{\frac {1}{2}}E_{2k}}$.

Además es:

${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\frac {1}{2}}}$.

No se sabe mucho sobre los valores de la función beta de Dirichlet para números enteros pares positivos (de manera similar a la función zeta de Riemann para números enteros impares mayores que 3). El número se conoce como constante de Catalan . ${\displaystyle \beta (2)=G}$

Se ha demostrado que hay infinitos números de la forma y al menos uno de los números son irracionales. ^{[3] [4]}${\displaystyle \beta(2n)}$${\displaystyle \beta (2),\beta (4),\beta (6),...,\beta (12)}$

El número puede darse en términos de la función poligamma : ${\displaystyle \beta (4)}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\!\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),}$

Para cada entero positivo k :

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},}$^{[ cita requerida ]}

¿Dónde está el número en zigzag de Euler ? $Estilo de visualización A_{k}}$

También fue deducido por Malmsten en 1842 (ver Blagouchine, 2014) que

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

• Función zeta de Hurwitz
• Función eta de Dirichlet
• Polilogaritmo

• Blagouchine, IV (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". Ramanujan J . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5.
• Glasser, ML (1972). "La evaluación de sumas reticulares. I. Procedimientos analíticos". J. Math. Phys . 14 (3): 409. Bibcode :1973JMP....14..409G. doi :10.1063/1.1666331.
• J. Spanier y KB Oldham, Un Atlas de Funciones , (1987) Hemisphere, Nueva York.
• Weisstein, Eric W. "Función Beta de Dirichlet". MundoMatemático .