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Articulo de referencia

Números de Euler

En matemáticas , los números de Euler son una sucesión E n de enteros (secuencia A122045 en la OEIS ) definida por la expansión en serie de Taylor. 1 aporrear ⁡ t = 2 mi t + mi ...

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En matemáticas , los números de Euler son una sucesión E n de enteros (secuencia A122045 en la OEIS ) definida por la expansión en serie de Taylor.

1aporrear⁡t=2mit+mi−t=∑norte=0∞minortenorte¡⋅tnorte,{\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n},}

dóndeaporrear⁡(t){\displaystyle \cosh(t)}es la función coseno hiperbólico . Los números de Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios de Euler , a saber:

minorte=2norteminorte(12).{\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}

Los números de Euler aparecen en las expansiones en serie de Taylor de las funciones secante e hiperbólica secante . Esta última es la función que aparece en la definición. También se utilizan en combinatoria , específicamente al contar el número de permutaciones alternas de un conjunto con un número par de elementos.

Ejemplos

Los números de Euler con índice impar son todos cero . Los números con índice par (secuencia A028296 en la OEIS ) tienen signos alternos. Algunos valores son:

Algunos autores reindexan la secuencia para omitir los números de Euler impares con valor cero, o cambian todos los signos a positivos (secuencia A000364 en la OEIS ) . Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.

Fórmulas explícitas

En términos de números de Stirling de segunda clase

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling de segunda especie : [ 1 ] [ 2 ]

minorte=22norte−1∑ℓ=1norte(−1)ℓS(norte,ℓ)ℓ+1(3(14)ℓ.¯−(34)ℓ.¯),{\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}\right),}
mi2norte=−42norte∑ℓ=12norte(−1)ℓ⋅S(2norte,ℓ)ℓ+1⋅(34)ℓ.¯,{\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}},}

dóndeS(norte,ℓ){\displaystyle S(n,\ell )}denota los números de Stirling de segunda especie yincógnitaℓ.¯=(incógnita)(incógnita+1)⋯(incógnita+ℓ−1){\displaystyle x^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}denota el factorial ascendente .

Como una recursión

Los números de Euler se pueden definir mediante la recursión.

mi2norte=−∑k=1norte(2norte2k)mi2(norte−k),{\displaystyle E_{2n}=-\sum _ {k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2(nk)},}

o equivalentemente

1=−∑k=1norte(2norte2k)mi2k,{\displaystyle 1=-\sum _ {k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k},}

Ambas recursiones se pueden encontrar utilizando el hecho de que

porque⁡(incógnita)segundo⁡(incógnita)=1.{\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1.}

Como una suma doble

Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler como sumas dobles [ 3 ].

mi2norte=(2norte+1)∑ℓ=02norte(−1)ℓ12ℓ(ℓ+1)(2norteℓ)∑q=0ℓ(ℓq)(2q−ℓ)2norte,{\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =0}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}
mi2norte=∑k=02norte(−1)k12k∑ℓ=02k(−1)ℓ(2kℓ)(k−ℓ)2norte.{\displaystyle E_{2n}=\sum _ {k=0}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}

Como una suma iterada

Una fórmula explícita para los números de Euler es

mi2norte=i∑k=12norte+1∑ℓ=0k(kℓ)(−1)ℓ(k−2ℓ)2norte+12kikk,{\displaystyle E_{2n}=i\sum _ {k=1}^{2n+1}\sum _ {\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}

donde i denota la unidad imaginaria con i 2 = −1 . [ 4 ]

Como una suma sobre particiones

El número de Euler E 2 n puede expresarse como una suma sobre las particiones pares de 2 n , [ 5 ]

mi2norte=(2norte)¡∑0≤k1,…,knorte≤norte(Kk1,…,knorte)δnorte,∑metrokmetro(−12¡)k1(−14¡)k2⋯(−1(2norte)¡)knorte,{\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}

así como una suma sobre las particiones impares de 2 n − 1 , [ 6 ]

mi2norte=(−1)norte−1(2norte−1)¡∑0≤k1,…,knorte≤2norte−1(Kk1,…,knorte)δ2norte−1,∑(2metro−1)kmetro(−11¡)k1(13¡)k2⋯((−1)norte(2norte−1)¡)knorte,{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}

donde en ambos casos K = k 1 + ··· + k n y

(Kk1,…,knorte)≡K¡k1¡⋯knorte¡{\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}

es un coeficiente multinomial . Las deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre los k s a 2 k 1 + 4 k 2 + ··· + 2 nk n = 2 n y a k 1 + 3 k 2 + ··· + (2 n − 1) k n = 2 n − 1 , respectivamente.

Por ejemplo,

mi10=10¡(−110¡+22¡8¡+24¡6¡−32¡26¡−32¡4¡2+42¡34¡−12¡5)=9¡(−19¡+31¡27¡+61¡3¡5¡+13¡3−51¡45¡−101¡33¡2+71¡63¡−11¡9)=−50521.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}

Como determinante

E 2 n viene dado por el determinante

mi2norte=(−1)norte(2norte)¡ |12¡1   14¡12¡1  ⋮ ⋱  ⋱   1(2norte−2)¡1(2norte−4)¡ 12¡11(2norte)¡1(2norte−2)¡⋯14¡12¡|.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}

Como parte integral

E 2 n también viene dado por las siguientes integrales:

(−1)nortemi2norte=∫0∞t2norteaporrear⁡πt2dt=(2π)2norte+1∫0∞incógnita2norteaporrear⁡incógnitadincógnita=(2π)2norte∫01registro2norte⁡(broncearse⁡πt4)dt=(2π)2norte+1∫0π/2registro2norte⁡(broncearse⁡incógnita2)dincógnita=22norte+3π2norte+2∫0π/2incógnitaregistro2norte⁡(broncearse⁡incógnita)dincógnita=(2π)2norte+2∫0πincógnita2registro2norte⁡(broncearse⁡incógnita2)dincógnita.{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

Congruencias

W. Zhang [ 7 ] obtuvo las siguientes identidades combinacionales relativas a los números de Euler. Para cualquier primopag{\displaystyle p}, tenemos

(−1)pag−12mipag−1≡{−0modpagsi pag≡1mod4;−2modpagsi pag≡3mod4.{\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}{\phantom {-}}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}

W. Zhang y Z. Xu [ 8 ] demostraron que, para cualquier primopag≡1(mod4){\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}y enteroα≥1{\displaystyle \alpha \geq 1}, tenemos

miϕ(pagα)/2≢0(modpagα),{\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}},}

dóndeϕ(norte){\displaystyle \phi (n)}es la función totiente de Euler .

Límite inferior

Los números de Euler crecen bastante rápido para índices grandes, ya que tienen un límite inferior.

|mi2norte|>8norteπ(4norteπmi)2norte.{\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}

Números en zigzag de Euler

La serie Taylor desegundo⁡incógnita+broncearse⁡incógnita=broncearse⁡(π4+incógnita2){\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}es

∑norte=0∞Anortenorte¡incógnitanorte,{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}

donde A n son los números en zigzag de Euler , comenzando con

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (secuencia A000111 en el OEIS )

Para todo n par ,

Anorte=(−1)norte2minorte,{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}

donde E n es el número de Euler, y para todo n impar ,

Anorte=(−1)norte−122norte+1(2norte+1−1)Bnorte+1norte+1,{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}

donde B n es el número de Bernoulli .

Para cada n ,

Anorte−1(norte−1)¡pecado⁡(norteπ2)+∑metro=0norte−1Ametrometro¡(norte−metro−1)¡pecado⁡(metroπ2)=1(norte−1)¡.{\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Jha, Sumit Kumar (2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Bernoulli que involucra el número de Euler" . Revista de Combinatoria y Teoría de Números de Moscú . 8 (4): 385– 387. doi : 10.2140/moscow.2019.8.389 . S2CID 209973489 . 
  2. ↑ Jha, Sumit Kumar (15 de noviembre de 2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Euler en términos de los números de Stirling de segunda especie" .
  3. ↑ Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). "Varias expresiones cerradas para los números de Euler" . Journal of Inequalities and Applications 219. doi : 10.1186/s13660-015-0738-9 .
  4. ↑ Tang, Ross (11 de mayo de 2012). "Una fórmula explícita para los números en zigzag de Euler (números ascendentes/descendentes) a partir de series de potencias" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 9 de abril de 2014.
  5. ↑ Vella, David C. (2008). "Fórmulas explícitas para los números de Bernoulli y Euler" . Enteros . 8 (1): A1.
  6. ↑ Malenfant, J. (2011). "Expresiones finitas en forma cerrada para la función de partición y para los números de Euler, Bernoulli y Stirling". arXiv : 1103.1585 [ math.NT ].
  7. ↑ Zhang, WP (1998). "Algunas identidades que involucran a Euler y los números factoriales centrales" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 36 (4): 154–157 . doi : 10.1080/00150517.1998.12428950 . Archivado (PDF) del original el 23 de noviembre de 2019.
  8. ↑ Zhang, WP; Xu, ZF (2007). "Sobre una conjetura de los números de Euler" . Journal of Number Theory . 127 (2): 283– 291. doi : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .