Ecuación funcional (función L)

En matemáticas , se espera que las funciones L de la teoría de números tengan varias propiedades características, una de las cuales es que satisfagan ciertas ecuaciones funcionales . Existe una teoría elaborada sobre cómo deberían ser estas ecuaciones, aunque gran parte de ella sigue siendo conjetural.

Un ejemplo prototípico, la función zeta de Riemann tiene una ecuación funcional que relaciona su valor en el número complejo s con su valor en 1 − s . En cada caso, esto se relaciona con algún valor ζ( s ) que solo se define por continuación analítica de la definición de serie infinita . Es decir, escribiendo –como es convencional– σ para la parte real de s , la ecuación funcional relaciona los casos.  

σ > 1 y σ < 0,

y también cambia un caso con

0 < σ < 1

en la franja crítica a otro caso similar, reflejado en la línea σ = ½. Por lo tanto, el uso de la ecuación funcional es fundamental para estudiar la función zeta en todo el plano complejo .

La ecuación funcional en cuestión para la función zeta de Riemann toma la forma simple

${\displaystyle Z(s)=Z(1-s)\,}$

donde Z ( s ) es ζ( s ) multiplicado por un factor gamma , que involucra la función gamma . Esto ahora se lee como un factor "extra" en el producto de Euler para la función zeta, correspondiente al primo infinito . La misma forma de ecuación funcional se cumple para la función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico K , con un factor gamma apropiado que depende solo de las incrustaciones de K (en términos algebraicos, del producto tensorial de K con el cuerpo real ).

Existe una ecuación similar para las funciones L de Dirichlet , pero esta vez relacionándolas en pares: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\varepsilon \Lambda (1-s,\chi ^{*})}$

donde χ es un carácter de Dirichlet primitivo , χ ^* su conjugado complejo, Λ es la función L multiplicada por un factor gamma, y ​​ε es un número complejo de valor absoluto 1, de forma

${\displaystyle G(\chi ) \over {\left|G(\chi )\right\vert }}$

donde G (χ) es una suma de Gauss formada a partir de χ. Esta ecuación tiene la misma función en ambos lados si y solo si χ es un carácter real que toma valores en {0,1, − 1}. Entonces ε debe ser 1 o − 1, y el caso del valor − 1 implicaría un cero de Λ ( s ) en s = ½. Según la teoría (de Gauss, en efecto) de las sumas de Gauss, el valor siempre es 1, por lo que no puede existir tal cero simple (la función es incluso alrededor del punto).

Erich Hecke propuso una teoría unificada de dichas ecuaciones funcionales , que John Tate retomó en su tesis . Hecke halló caracteres generalizados de cuerpos numéricos, ahora llamados caracteres de Hecke , para los cuales su demostración (basada en funciones theta ) también funcionó. Actualmente se entiende que estos caracteres y sus funciones L asociadas están estrechamente relacionados con la multiplicación compleja , al igual que los caracteres de Dirichlet lo están con los cuerpos ciclotómicos .

También existen ecuaciones funcionales para las funciones zeta locales , que surgen a un nivel fundamental para la dualidad de Poincaré (análoga a esta) en la cohomología étale . Se conjetura que los productos de Euler de la función zeta de Hasse-Weil para una variedad algebraica V sobre un cuerpo numérico K , formados al reducir módulo ideales primos para obtener funciones zeta locales, poseen una ecuación funcional global ; sin embargo, actualmente se considera inalcanzable salvo en casos especiales. La definición puede leerse directamente de la teoría de la cohomología étale; pero, en general, parece necesario algún supuesto proveniente de la teoría de la representación automórfica para obtener la ecuación funcional. La conjetura de Taniyama-Shimura fue un caso particular de esta teoría general. Al relacionar el aspecto del factor gamma con la teoría de Hodge y mediante estudios detallados del factor ε esperado, la teoría, como empírica, ha alcanzado un estado bastante refinado, aunque aún falten demostraciones.

• Fórmula explícita (función L)
• Fórmula de Riemann-Siegel (ecuación funcional aproximada particular)

• Weisstein, Eric W. "Ecuación funcional" . MathWorld .