Función gamma p-ádica

En matemáticas , la función gamma p -ádica Γ _p es una función de una variable p -ádica análoga a la función gamma . Fue definida explícitamente por primera vez por Morita (1975), aunque Boyarsky (1980) señaló que Dwork (1964) utilizó implícitamente la misma función. Diamond (1977) definió un análogo p -ádico G _p de log Γ. Overholtzer (1952) había dado previamente una definición de un análogo p -ádico diferente de la función gamma, pero su función no tiene propiedades satisfactorias y no se utiliza mucho.

La función gamma p -ádica es la única función continua de un entero p -ádico x (con valores en ) tal que ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i}$

para enteros positivos x , donde el producto está restringido a enteros i no divisibles por p . Como los enteros positivos son densos con respecto a la topología p -ádica en , se puede extender de forma única a la totalidad de . Aquí está el anillo de enteros p -ádicos . De la definición se deduce que los valores de son invertibles en ; esto se debe a que estos valores son productos de enteros no divisibles por p , y esta propiedad se mantiene después de la extensión continua a . Por lo tanto . Aquí está el conjunto de enteros p -ádicos invertibles . ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$$Estilo de visualización: Gamma _{p}(x)$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \Gamma _ {p}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$

La función gamma clásica satisface la ecuación funcional para cualquier . Esto tiene un análogo con respecto a la función gamma de Morita: ${\displaystyle \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{si }}x\en \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{si }}x\en p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

La fórmula de reflexión de Euler tiene su siguiente contraparte simple en el caso p -ádico: ${\displaystyle \Gamma(x)\Gamma(1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

donde es el primer dígito en la expansión p -ádica de x , a menos que , en cuyo caso en lugar de 0. $estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle x_{0}=p}$

${\displaystyle \Gamma _ {p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _ {p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _ {p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _ {p}(3)=-2,}$

y, en general,

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

En Morita la función gamma está relacionada con el símbolo de Legendre : ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

También se puede ver que, por lo tanto , como . ^{[1] : 369}${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$${\displaystyle n\to \infty }$

Otros valores especiales interesantes provienen de la fórmula de Gross-Koblitz , que primero se demostró mediante herramientas cohomológicas y luego se demostró utilizando métodos más elementales. ^[2] Por ejemplo,

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

donde denota la raíz cuadrada con primer dígito 3, y denota la raíz cuadrada con primer dígito 2. (Tales especificaciones deben hacerse siempre si hablamos de raíces). ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$

Otro ejemplo es

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

donde es la raíz cuadrada de en congruente con 1 módulo 3. ^[3]${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

La fórmula de Raabe para la función Gamma clásica dice que

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

Esto tiene un análogo para el logaritmo de Iwasawa de la función gamma de Morita: ^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

La función techo debe entenderse como el límite p -ádico tal que pasa por números enteros racionales. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$${\displaystyle x_{n}\to x}$

La expansión de Mahler es igualmente importante para las funciones p -ádicas como la expansión de Taylor en el análisis clásico. La expansión de Mahler de la función gamma p -ádica es la siguiente: ^{[1] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

donde la secuencia está definida por la siguiente identidad: ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

• Fórmula de Gross-Koblitz

• Boyarsky, Maurizio (1980), "Funciones gamma p-ádicas y cohomología Dwork", Transactions of the American Mathematical Society , 257 (2): 359–369, doi :10.2307/1998301, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998301, MR  0552263
• Diamond, Jack (1977), "La función de registro gamma p-ádica y las constantes de Euler p-ádicas", Transactions of the American Mathematical Society , 233 : 321–337, doi : 10.2307/1997840, ISSN  0002-9947, JSTOR  1997840, MR  0498503
• Diamond, Jack (1984), "Funciones gamma p-ádicas y sus aplicaciones", en Chudnovsky, David V .; Chudnovsky, Gregory V.; Cohn, Henry; et al. (eds.), Teoría de números (Nueva York, 1982) , Lecture Notes in Math., vol. 1052, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 168–175, doi :10.1007/BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, Sr.  0750664
• Dwork, Bernard (1964), "Sobre la función zeta de una hipersuperficie. II", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 80 (2): 227–299, doi :10.2307/1970392, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970392, MR  0188215
• Morita, Yasuo (1975), "Un análogo p-ádico de la función Γ", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 22 (2): 255–266, hdl :2261/6494, ISSN  0040-8980, MR  0424762
• Overholtzer, Gordon (1952), "Funciones suma en el análisis p-ádico elemental", American Journal of Mathematics , 74 (2): 332–346, doi :10.2307/2371998, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371998, MR  0048493