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Articulo de referencia

Función exponencial estirada

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Figura 1. Gráfico de f β ( t ) = e − t β para diferentes valores de β , con exponenciales estiradas ( β < 1 ) en colores rojizos, exponenciales comprimidas ( β > 1 ) en colores verde y azul, y la función exponencial estándar en amarillo. Los casos degenerados β → 0 y β → +∞ están marcados con líneas punteadas.

La función exponencial estiradaFβ(t)=mi−tβ{\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}se obtiene insertando una ley de potencia fraccionaria en la función exponencial . En la mayoría de las aplicaciones, solo tiene sentido para argumentos t entre 0 y +∞. Con β = 1 , se recupera la función exponencial usual. Con un exponente de estiramiento β entre 0 y 1, la gráfica de log f frente a t se estira característicamente , de ahí el nombre de la función. La función exponencial comprimida (con β > 1 ) tiene menor importancia práctica, con las notables excepciones de β = 2 , que da la distribución normal , y de la relajación exponencial comprimida en la dinámica de sólidos amorfos . [ 1 ] 

En matemáticas, la exponencial estirada también se conoce como la distribución de Weibull acumulativa complementaria . La exponencial estirada es también la función característica , básicamente la transformada de Fourier , de la distribución alfa-estable simétrica de Lévy .

En física, la función exponencial estirada se utiliza a menudo como descripción fenomenológica de la relajación en sistemas desordenados. Fue introducida por primera vez por Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un capacitor; [ 2 ] por lo que también se la conoce como la función de Kohlrausch . En 1970, G. Williams y DC Watts utilizaron la transformada de Fourier de la exponencial estirada para describir los espectros dieléctricos de polímeros; [ 3 ] en este contexto, la exponencial estirada o su transformada de Fourier también se denominan función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) . La función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) corresponde a la respuesta de carga en el dominio del tiempo de los principales modelos dieléctricos, como la ecuación de Cole-Cole , la ecuación de Cole-Davidson y la relajación de Havriliak-Negami , para argumentos de tiempo pequeños. [ 4 ]

En aplicaciones fenomenológicas, a menudo no está claro si la función exponencial estirada debe usarse para describir la función de distribución diferencial o integral, o ninguna de las dos. En cada caso, se obtiene el mismo decaimiento asintótico, pero un prefactor de ley de potencias diferente, lo que hace que los ajustes sean más ambiguos que para exponenciales simples. En algunos casos, [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] se puede demostrar que el decaimiento asintótico es una exponencial estirada, pero el prefactor suele ser una potencia no relacionada.

Propiedades matemáticas

Momentos

Siguiendo la interpretación física habitual, interpretamos el argumento de la función t como tiempo, y f β ( t ) es la distribución diferencial. El área bajo la curva puede interpretarse, por lo tanto, como un tiempo de relajación medio . Se encuentra ⟨τ⟩≡∫0∞dtmi−(t/τK)β=τKβΓ(1β){\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}} donde Γ es la función gamma . Para el decaimiento exponencial , se recupera ⟨ τ ⟩ = τ K.

Los momentos superiores de la función exponencial estirada son [ 9 ]⟨τnorte⟩≡∫0∞dttnorte−1mi−(t/τK)β=τKnorteβΓ(norteβ).{\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}

Función de distribución

En física, se han realizado intentos para explicar el comportamiento exponencial estirado como una superposición lineal de decaimientos exponenciales simples. Esto requiere una distribución no trivial de tiempos de relajación, ρ ( u ), que se define implícitamente por mi−tβ=∫0∞dtúρ(tú)mi−t/tú.{\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}

Alternativamente, una distribuciónGRAMO=túρ(tú){\displaystyle G=u\rho (u)}se utiliza.

ρ se puede calcular a partir del desarrollo en serie: [ 10 ]ρ(tú)=−1πtú∑k=0∞(−1)kk¡pecado⁡(πβk)Γ(βk+1)túβk{\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _ {k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}

Para valores racionales de β , ρ ( u ) se puede calcular en términos de funciones elementales. Pero la expresión es en general demasiado compleja para ser útil excepto para el caso β = 1/2 donde GRAMO(tú)=túρ(tú)=12πtúmi−tú/4{\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}

La figura 2 muestra los mismos resultados representados tanto en escala lineal como logarítmica . Las curvas convergen a una función delta de Dirac con un pico en u = 1 a medida que β se aproxima a 1, lo que corresponde a la función exponencial simple.

Los momentos de la función original se pueden expresar como ⟨τnorte⟩=Γ(norte)∫0∞dτtnorteρ(τ).{\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _ {0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}

El primer momento logarítmico de la distribución de tiempos de relajación exponenciales simples es ⟨ln⁡τ⟩=(1−1β)γ+ln⁡τK{\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right)\gamma +\ln \tau _{K}} donde γ es la constante de Euler . [ 11 ]

transformada de Fourier

Para describir los resultados de la espectroscopia o la dispersión inelástica, se necesita la transformada de Fourier de seno o coseno de la exponencial estirada. Debe calcularse mediante integración numérica o a partir de un desarrollo en serie. [ 12 ] La serie aquí, así como la de la función de distribución, son casos especiales de la función de Fox-Wright . [ 13 ] Para fines prácticos, la transformada de Fourier puede aproximarse mediante la función de Havriliak-Negami , [ 14 ] aunque hoy en día el cálculo numérico puede hacerse de forma tan eficiente [ 15 ] que ya no hay razón para no utilizar la función de Kohlrausch-Williams-Watts en el dominio de la frecuencia.

Historia y otras aplicaciones

Figura 3. Ilustración de un ajuste exponencial estirado (con β = 0,52) a una curva maestra empírica. Para comparar, también se muestran un ajuste exponencial simple y doble por mínimos cuadrados. Los datos son anisotropía rotacional del antraceno en poliisobutileno de varias masas moleculares . [ 16 ] Las gráficas se han hecho superpuestas dividiendo el tiempo ( t ) por la constante de tiempo característica respectiva .

Como se mencionó en la introducción, la exponencial estirada fue introducida por el físico alemán Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador ( botella de Leyden ) que utilizaba vidrio como medio dieléctrico. El siguiente uso documentado corresponde a Friedrich Kohlrausch , hijo de Rudolf, quien la empleó para describir la relajación torsional. A. Werner la utilizó en 1907 para describir decaimientos de luminiscencia complejos; Theodor Förster, en 1949, como la ley de decaimiento de fluorescencia de donantes de energía electrónica. [ 17 ]

Fuera de la física de la materia condensada , la exponencial estirada se ha utilizado para describir las tasas de eliminación de cuerpos pequeños y errantes en el sistema solar, [ 18 ] la señal de resonancia magnética ponderada por difusión en el cerebro, [ 19 ] y la producción de pozos de gas no convencionales. [ 20 ]

En probabilidad

Si la distribución integrada es una exponencial estirada, la función de densidad de probabilidad normalizada viene dada porpag(τ∣λ,β) dτ=λΓ(1+β−1) mi−(τλ)β dτ{\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }

Cabe señalar que, de manera confusa, algunos autores han utilizado el nombre "exponencial estirada" para referirse a la distribución de Weibull . [ 21 ]

Funciones modificadas

Una función exponencial estirada modificada Fβ(t)=mi−tβ(t){\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}} con un exponente β que depende lentamente de t se ha utilizado para curvas de supervivencia biológica. [ 22 ] [ 23 ]

comunicaciones inalámbricas

En las comunicaciones inalámbricas, se ha demostrado que una versión escalada de la función exponencial estirada aparece en la transformada de Laplace para la potencia de interferencia.I{\displaystyle I}cuando las ubicaciones de los transmisores se modelan como un proceso de puntos de Poisson 2D sin región de exclusión alrededor del receptor. [ 24 ]

La transformada de Laplace se puede escribir para una distribución de desvanecimiento arbitraria de la siguiente manera: LI(s)=exp⁡(−πλmi[gramo2η]Γ(1−2η)s2η)=exp⁡(−tsβ){\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)} dóndegramo{\displaystyle g}es el poder del desvanecimiento,η{\displaystyle \eta }es el exponente de pérdida de trayectoria ,λ{\displaystyle \lambda }es la densidad del proceso de puntos de Poisson 2D,Γ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}es la función Gamma, ymi[incógnita]{\displaystyle \mathbb {E} [x]}es la esperanza de la variableincógnita{\displaystyle x}.

La misma referencia también muestra cómo obtener la transformada inversa de Laplace para la exponencial estirada.exp⁡(−sβ){\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}para enteros de orden superiorβ=βqβb{\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}de enteros de orden inferiorβa{\displaystyle \beta _{a}}yβb{\displaystyle \beta _{b}}.

transmisión por Internet

La exponencial extendida se ha utilizado para caracterizar los patrones de acceso a medios de Internet, como YouTube y otros sitios de transmisión de medios estables. [ 25 ] Los patrones de acceso a la ley de potencias comúnmente aceptados para las cargas de trabajo web reflejan principalmente cargas de trabajo web de contenido basado en texto, como sitios de noticias que se actualizan diariamente. [ 26 ]

Referencias

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