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Articulo de referencia

Integral exponencial

Gráfico de la función integral exponencial E 2 ( z ) para z complejo En matemáticas , la integral exponencial Ei {\displaystyle \operatorname {Ei} } ⁠ es una función especial en...

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Gráfico de la función integral exponencial E_n(z) con n=2 para z complejo
Gráfico de la función integral exponencial E 2 ( z ) para z complejo

En matemáticas , la integral exponencialEi{\displaystyle \operatorname {Ei} }⁠ es una función especial en el plano complejo . Se define como una integral definida particular de la razón entre una función exponencial y su argumento .

Definiciones

Para valores reales distintos de cero de ⁠ incógnita{\displaystyle x}, la integral exponencialEi⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}se define como Ei⁡(incógnita)=−∫−incógnita∞mi−ttdt=∫−∞incógnitamittdt.{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}

El algoritmo de Risch muestra que ⁠Ei{\displaystyle \operatorname {Ei} }⁠ no es una función elemental . La definición anterior se puede utilizar para valores positivos de ⁠ incógnita{\displaystyle x}⁠ , pero la integral debe entenderse en términos del valor principal de Cauchy debido a la singularidad del integrando en cero.

Para valores complejos del argumento, la definición se vuelve ambigua debido a los puntos de ramificación en ⁠0{\displaystyle 0}y​​∞{\displaystyle \infty }⁠ . [ 1 ] En lugar de ⁠Ei{\displaystyle \operatorname {Ei} }⁠ , se utiliza la siguiente notación, [ 2 ]mi1(z)=∫z∞mi−ttdt,|Arg(z)|<π{\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\operatorname {Arg} }(z)|<\pi }

Gráfico de la función integral exponencial Ei(z) para z complejo
Gráfico de la función integral exponencial Ei( z ) para z complejo.

Para valores positivos de ⁠ incógnita{\displaystyle x}⁠ , tenemos ⁠−mi1(incógnita)=Ei⁡(−incógnita){\displaystyle -E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)}⁠ .

En general, un corte de rama se toma en el eje real negativo ymi1{\displaystyle E_{1}}puede definirse mediante continuación analítica en cualquier otro lugar del plano complejo.

Para valores positivos de la parte real de ⁠z{\displaystyle z}⁠ , esto se puede escribir [ 3 ]mi1(z)=∫1∞mi−tztdt=∫01mi−z/tútúdtú,ℜ(z)≥0.{\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.}

El comportamiento demi1{\displaystyle E_{1}}⁠ cerca del corte de la rama se puede ver por la siguiente relación: [ 4 ]límiteδ→0+mi1(−incógnita±iδ)=−Ei⁡(incógnita)∓iπ,incógnita>0.{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}

Propiedades

En ciertos casos, varias propiedades de la integral exponencial que se muestra a continuación permiten evitar su evaluación explícita mediante la definición anterior.

Series convergentes

Gráfico de la función E 1 (arriba) y de la función Ei (abajo).

Para argumentos reales o complejos fuera del eje real negativo,mi1(z){\displaystyle E_{1}(z)}se puede expresar como [ 5 ]mi1(z)=−γ−ln⁡z−∑k=1∞(−z)kkk¡(|Arg⁡(z)|<π){\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )} dóndeγ{\displaystyle \gamma }es la constante de Euler-Mascheroni . La suma converge para todos los números complejos .z{\displaystyle z}⁠ , y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con un corte de rama a lo largo del eje real negativo.

Esta fórmula se puede utilizar para calcularmi1(incógnita){\displaystyle E_{1}(x)}con operaciones de punto flotante para operaciones realesincógnita{\displaystyle x}entre​0{\displaystyle 0}y​​2.5{\displaystyle 2.5}. Para​incógnita>2.5{\displaystyle x>2.5}⁠ , el resultado es inexacto debido a la cancelación .

Ramanujan encontró una serie de convergencia más rápida : [ 6 ]mii(incógnita)=γ+ln⁡incógnita+exp⁡(incógnita/2)∑norte=1∞(−1)norte−1incógnitanortenorte¡2norte−1∑k=0⌊(norte−1)/2⌋12k+1{\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}

Series asintóticas (divergentes)

Error relativo de la aproximación asintótica para diferentes números N de términos en la suma truncada.

La convergencia de la serie anterior es lenta para argumentos de módulo mayor. Por ejemplo, se requieren más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con tres cifras significativas para ⁠mi1(10){\displaystyle E_{1}(10)}⁠ . [ 7 ] Sin embargo, para valores positivos de ⁠incógnita{\displaystyle x}⁠ , existe una aproximación de serie divergente que se puede obtener integrandoincógnitamiincógnitami1(incógnita){\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}por partes: [ 8 ]mi1(incógnita)=exp⁡(−incógnita)incógnita(∑norte=0norte−1norte¡(−incógnita)norte+O(norte¡incógnita−norte)){\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)} El error relativo de la aproximación anterior se representa en la figura de la derecha para varios valores de ⁠norte{\displaystyle N}⁠ , el número de términos en la suma truncada ( ⁠norte=1{\displaystyle N=1}en rojo ,norte=5{\displaystyle N=5}en rosa).

Asintótica más allá de todos los órdenes

Integral exponencial normalizada. El valor graficado es Ei ( x ) / (exp x ) / x . Los valores de x se indican sobre el punto correspondiente. El espaciado horizontal corresponde a la función arctan x . La gráfica se extiende ligeramente hacia la derecha y hacia la izquierda, más allá del infinito, para mostrar el comportamiento de la función normalizada cuando 1/ x es pequeño. (El espaciado horizontal de estos puntos corresponde a ángulos cuya tangente es x ).

Utilizando la integración por partes , podemos obtener una fórmula explícita [ 9 ].Ei⁡(z)=mizz(∑k=0nortek¡zk+minorte(z)),minorte(z)≡(norte+1)¡ zmi−z∫−∞zmittnorte+2dt.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ei} (z)&={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\\e_{n}(z)&\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt.\end{aligned}}} Para cualquier fijoz{\displaystyle z}⁠ , el valor absoluto del término de error|minorte(z)|{\displaystyle |e_{n}(z)|}disminuye, luego aumenta. El mínimo se produce en ⁠norte∼|z|{\displaystyle n\sim \vert z\vert }⁠ , en ese momento ⁠|minorte(z)|≤2π|z|mi−|z|{\displaystyle \textstyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}Se dice que este límite es "asintótico más allá de todos los órdenes" .

Comportamiento exponencial y logarítmico: acotación

Acotación de E 1 mediante funciones elementales

De las dos series sugeridas en subsecciones anteriores, se deduce quemi1{\displaystyle E_{1}}se comporta como una exponencial negativa para valores grandes del argumento y como un logaritmo para valores pequeños. Para valores reales positivos del argumento,mi1{\displaystyle E_{1}}puede ser acotado por funciones elementales de la siguiente manera: [ 10 ]12mi−incógnitaln(1+2incógnita)<mi1(incógnita)<mi−incógnitaln(1+1incógnita)incógnita>0{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}

El lado izquierdo de esta desigualdad se muestra en el gráfico de la izquierda en azul; la parte centralmi1(incógnita){\displaystyle E_{1}(x)}se muestra en negro y el lado derecho se muestra en rojo.

Definición de Ein

AmbosEi{\displaystyle \operatorname {Ei} }ymi1{\displaystyle E_{1}}se puede escribir de forma más sencilla utilizando la función completa .Ein{\displaystyle \operatorname {Ein} }⁠ [ 11 ] definido como Ein⁡(z)=∫0z(1−mi−t)dtt=∑k=1∞(−1)k+1zkkk¡{\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}} (tenga en cuenta que esta es solo la serie alternada en la definición anterior de ⁠mi1{\displaystyle E_{1}}) . Entonces tenemos mi1(z)=−γ−ln⁡z+Ein⁡(z),|Arg⁡(z)|<π;Ei⁡(incógnita)=−γ+ln⁡incógnita−miinorte(−incógnita),incógnita≠0.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}(z)&=-\gamma -\ln z+\operatorname {Ein} (z),&&\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi ;\\\operatorname {Ei} (x)&={\hphantom {-}}\gamma +\ln {x}-\mathrm {Ein} (-x),&&x\neq 0.\end{aligned}}} La funciónEin{\displaystyle \operatorname {Ein} }está relacionado con la función generadora exponencial de los números armónicos : Ein⁡(z)=mi−z∑norte=1∞znortenorte¡Hnorte{\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=e^{-z}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}}

Relación con otras funciones

La ecuación de Kummer zd2wdz2+(b−z)dwdz−aw=0{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0} Generalmente se resuelve mediante funciones hipergeométricas confluentes.METRO(a,b,z){\displaystyle M(a,b,z)}y​U(a,b,z){\displaystyle U(a,b,z)}⁠ . Pero cuandoa=0{\displaystyle a=0}y​b=1{\displaystyle b=1}⁠ , es decir, zd2wdz2+(1−z)dwdz=0{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0} tenemos METRO(0,1,z)=U(0,1,z)=1{\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1} para todosz{\displaystyle z}⁠ . Una segunda solución viene dada por ⁠mi1(−z){\displaystyle E_{1}(-z)}⁠ . De hecho, mi1(−z)=−γ−iπ+∂[U(a,1,z)−METRO(a,1,z)]∂a,0<Arg⁡(z)<2π{\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<\operatorname {Arg} (z)<2\pi } con la derivada evaluada en ⁠a=0{\displaystyle a=0}⁠ . Otra conexión con las funciones hipergeométricas confluentes es que ⁠mi1{\displaystyle E_{1}}es una exponencial multiplicada por la funciónU(1,1,z){\displaystyle U(1,1,z)}:​ mi1(z)=mi−zU(1,1,z){\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}

La integral exponencial está estrechamente relacionada con la función integral logarítmica .li⁡(miincógnita){\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})}por la fórmula li⁡(miincógnita)=Ei⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)} para valores reales distintos de cero de ⁠incógnita{\displaystyle x}⁠ .

El desarrollo en serie de la integral exponencial da lugar inmediatamente a una expresión en términos de la función hipergeométrica generalizada .2F2{\displaystyle {}_{2}\!F_{2}}:​ Ei⁡(incógnita)=incógnita2F2(1,1;2,2;incógnita)+ln⁡incógnita+γ.{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{\,}_{2}\!F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}

Generalización

La integral exponencial también puede generalizarse a minorte(incógnita)=∫1∞mi−incógnitattnortedt,{\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,} que puede escribirse como un caso especial de la función gamma incompleta superior : [ 12 ]minorte(incógnita)=incógnitanorte−1Γ(1−norte,incógnita).{\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}

La forma generalizada se denomina a veces función de Misra .φmetro(incógnita){\displaystyle \varphi _{m}(x)}⁠ , [ a ] ​​[ b ] definido como φmetro(incógnita)=mi−metro(incógnita).{\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}

Incluir un logaritmo define la función integro-exponencial generalizada [ 13 ].misj(z)=1Γ(j+1)∫1∞(registro⁡t)jmi−zttsdt.{\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}

Derivados

Las derivadas de las funciones generalizadasminorte{\displaystyle E_{n}}se puede calcular mediante la fórmula [ 14 ]minorte′(z)=−minorte−1(z)(norte=1,2,3,…){\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )} Tenga en cuenta que la funciónmi0{\displaystyle E_{0}}es fácil de evaluar (lo que hace que esta recursión sea útil), ya que es simplementemi−zz{\displaystyle \textstyle {\frac {e^{-z}}{z}}}⁠ . [ 15 ]

Integral exponencial de argumento imaginario

E 1 ( ix ) contra x ; parte real negra, parte imaginaria roja.

Siz{\displaystyle z}es imaginario, tiene una parte real no negativa, por lo que podemos usar la fórmula mi1(z)=∫1∞mi−tztdt{\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt} para obtener una relación con las integrales trigonométricasSi{\displaystyle \operatorname {Si} }y​Ci{\displaystyle \operatorname {Ci} }:​ mi1(iincógnita)=i[−12π+Si⁡(incógnita)]−Ci⁡(incógnita)(incógnita>0){\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)} Las partes reales e imaginarias demi1(iincógnita){\displaystyle E_{1}(ix)}Se representan en la figura de la derecha con curvas negras y rojas.

Aproximaciones

Se han propuesto varias aproximaciones para la función integral exponencial. Estas incluyen:

  • La aproximación de Swamee y Ohija [ 16 ]mi1(incógnita)=(A−7.7+B)−0,13,{\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}dóndeA=ln⁡[(0,56146incógnita+0,65)(1+incógnita)]B=incógnita4mi7.7incógnita(2+incógnita)3.7{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}
  • La aproximación de Allen y Hastings [ 16 ] [ 17 ]mi1(incógnita)={−ln⁡incógnita+aTincógnita5,incógnita≤1mi−incógnitaincógnitabTincógnita3doTincógnita3,incógnita≥1{\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{\mathsf {T}}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}dóndea≜[−0,57722,0,99999,−0,24991,0,05519,−0,00976,0,00108]Tb≜[0,26777,8.63476,18.05902,8.57333]Tdo≜[3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]Tincógnitak≜[incógnita0,incógnita1,…,incógnitak]T{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{\mathsf {T}}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}
  • La expansión fraccionaria continua [ 17 ]mi1(incógnita)=mi−incógnitaincógnita+11+1incógnita+21+2incógnita+3⋱.{\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}
  • La aproximación de Barry et al. [ 18 ]mi1(incógnita)=mi−incógnitaGRAMO+(1−GRAMO)mi−incógnita1−GRAMOln⁡[1+GRAMOincógnita−1−GRAMO(h+bincógnita)2],{\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}dónde:h=11+incógnitaincógnita+h∞q1+qq=2047incógnita3126h∞=(1−GRAMO)(GRAMO2−6GRAMO+12)3GRAMO(2−GRAMO)2bb=2(1−GRAMO)GRAMO(2−GRAMO)GRAMO=mi−γ{\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}conγ{\displaystyle \gamma }siendo la constante de Euler-Mascheroni .

Función inversa de la integral exponencial

Podemos expresar la función inversa de la integral exponencial en forma de serie de potencias : [ 19 ]∀|incógnita|<μln⁡(μ),Ei−1⁡(incógnita)=∑norte=0∞incógnitanortenorte¡PAGnorte(ln⁡(μ))μnorte{\displaystyle \forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \operatorname {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}} dóndeμ{\displaystyle \mu }es la constante de Ramanujan-Soldner y(PAGnorte){\displaystyle (P_{n})}es una sucesión polinómica definida por la siguiente relación de recurrencia : PAG0(incógnita)=incógnita, PAGnorte+1(incógnita)=incógnita(PAGnorte′(incógnita)−nortePAGnorte(incógnita)).{\displaystyle P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).}

Para​norte>0{\displaystyle n>0}⁠ ,grados⁡PAGnorte=norte{\displaystyle \deg P_{n}=n}y tenemos la fórmula: PAGnorte(incógnita)=(ddt)norte−1(tmiincógnitaEi⁡(t+incógnita)−Ei⁡(incógnita))norte|t=0.{\displaystyle P_{n}(x)=\left.\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\operatorname {Ei} (t+x)-\operatorname {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.}

Aplicaciones

Véase también

Notas a pie de página

  1. ↑ Según RD Misra; Misra & Born 1940 , pág. 178.
  2. ↑ Muchas propiedades de esta forma generalizada se pueden encontrar en DLMF 8.19 .

Citas

  1. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 228
  2. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 228, 5.1.1
  3. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 228, 5.1.4 con n  = 1
  4. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 228, 5.1.7
  5. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 229, 5.1.11
  6. ↑ Andrews y Berndt 2013 , pág. 130, 24.16
  7. ↑ Bleistein y Handelsman 1986 , pág. 2
  8. ↑ Bleistein y Handelsman 1986 , pág. 3
  9. ↑ O'Malley, Robert E. (2014). «Aproximaciones asintóticas». En O'Malley, Robert E. (ed.). Desarrollos históricos en perturbaciones singulares . Cham: Springer International Publishing. pp. 27–51 . doi : 10.1007/978-3-319-11924-3_2 . ISBN  978-3-319-11924-3.
  10. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 229, 5.1.20
  11. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 228, véase la nota al pie 3
  12. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 230, 5.1.45
  13. ↑ Milgram 1985 .
  14. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 230, 5.1.26
  15. ↑ Abramowitz y Stegun 1964 , pág. 229, 5.1.24
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Referencias

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