Supermatriz

En matemáticas y física teórica , una supermatriz es un análogo graduado Z² de una matriz ordinaria . Específicamente, una supermatriz es una matriz de bloques _{de 2}× 2 con entradas en una superálgebra (o superanillo ). Los ejemplos más importantes son aquellos con entradas en una superálgebra conmutativa (como un álgebra de Grassmann ) o en un cuerpo ordinario (considerado como una superálgebra conmutativa puramente par).

Las supermatrices surgen en el estudio del álgebra superlineal, donde aparecen como representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre superespacios vectoriales de dimensión finita o supermódulos libres . Tienen importantes aplicaciones en el campo de la supersimetría .

Definiciones y notación

Sea R una superálgebra fija (que se supone unitaria y asociativa ). A menudo se requiere que R también sea superconmutativa (por razones esencialmente las mismas que en el caso no graduado).

Sean p , q , r y s enteros no negativos. Una supermatriz de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) es una matriz con entradas en R que está particionada en una estructura de bloques de 2 × 2.

X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}

con r + s filas en total y p + q columnas en total (de modo que la submatriz X ₀₀ tiene dimensiones r × p y X ₁₁ tiene dimensiones s × q ). Una matriz ordinaria (no graduada) puede considerarse como una supermatriz para la cual q y s son ambos cero.

Una supermatriz cuadrada es aquella para la cual ( r | s ) = ( p | q ). Esto significa que no solo la matriz no particionada X es cuadrada , sino que los bloques diagonales X ₀₀ y X ₁₁ también lo son.

Una supermatriz par es aquella en la que los bloques diagonales ( X ₀₀ y X ₁₁ ) constan únicamente de elementos pares de R (es decir, elementos homogéneos de paridad 0) y los bloques fuera de la diagonal ( X ₀₁ y X ₁₀ ) constan únicamente de elementos impares de R.

{\begin{bmatrix}\mathrm {par} &\mathrm {impar} \\\mathrm {impar} &\mathrm {par} \end{bmatrix}}

Una supermatriz impar es aquella en la que se cumple la relación inversa: los bloques diagonales son impares y los bloques fuera de la diagonal son pares.

{\begin{bmatrix}\mathrm {impar} &\mathrm {par} \\\mathrm {par} &\mathrm {impar} \end{bmatrix}}

Si los escalares R son puramente pares, no hay elementos impares distintos de cero, por lo que las supermatrices pares son las diagonales por bloques y las supermatrices impares son las que no están en la diagonal.

Una supermatriz es homogénea si es par o impar. La paridad | X | de una supermatriz homogénea no nula X es 0 o 1 según sea par o impar. Toda supermatriz puede escribirse de forma única como la suma de una supermatriz par y una impar.

Estructura algebraica

Las supermatrices de dimensiones compatibles se pueden sumar o multiplicar igual que las matrices ordinarias. Estas operaciones son idénticas a las ordinarias, con la restricción de que solo se definen cuando los bloques tienen dimensiones compatibles. También se pueden multiplicar supermatrices por elementos de R (por la izquierda o por la derecha); sin embargo, esta operación difiere del caso no graduado debido a la presencia de elementos impares en R.

Sea M _{r | s × p | q} ( R ) el conjunto de todas las supermatrices sobre R con dimensión ( r | s )×( p | q ). Este conjunto forma un supermódulo sobre R bajo la suma de supermatrices y la multiplicación escalar. En particular, si R es una superálgebra sobre un cuerpo K , entonces M _{r | s × p | q} ( R ) forma un superespacio vectorial sobre K .

Sea M _{p | q} ( R ) el conjunto de todas las supermatrices cuadradas sobre R con dimensión ( p | q )×( p | q ). Este conjunto forma un superanillo bajo la suma y multiplicación de supermatrices. Además, si R es una superálgebra conmutativa , entonces la multiplicación de supermatrices es una operación bilineal, de modo que M _{p | q} ( R ) forma una superálgebra sobre R .

Suma

Dos supermatrices de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) se pueden sumar, al igual que en el caso no graduado, para obtener una supermatriz de la misma dimensión. La suma se puede realizar por bloques, ya que estos tienen tamaños compatibles. Es fácil observar que la suma de dos supermatrices pares es par y la suma de dos supermatrices impares es impar.

Multiplicación

Se puede multiplicar una supermatriz con dimensiones ( r | s ) × ( p | q ) por una supermatriz con dimensiones ( p | q ) × ( k | l ), como en el caso no graduado , para obtener una matriz de dimensión ( r | s ) × ( k | l ). La multiplicación se puede realizar a nivel de bloque de la manera obvia:

{\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{b matriz}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.

Nótese que los bloques de la supermatriz producto Z = XY vienen dados por

Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,

Si X e Y son homogéneas con paridades | X | y | Y |, entonces XY es homogénea con paridad | X | + | Y |. Es decir, el producto de dos supermatrices pares o dos impares es par, mientras que el producto de una supermatriz par y una impar es impar.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar para supermatrices es diferente del caso no graduado debido a la presencia de elementos impares en R. Sea X una supermatriz. La multiplicación escalar izquierda por α ∈ R se define por

\alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}

donde las multiplicaciones escalares internas son las ordinarias no graduadas y ${\sombrero {\alpha }}$ denota la involución de grado en R. Esto se da en elementos homogéneos por

{\sombrero {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .

La multiplicación escalar derecha por α se define de forma análoga:

X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.

Si α es par entonces ${\hat {\alpha }}=\alpha$ y ambas operaciones son iguales a las versiones no graduadas. Si α y X son homogéneas, entonces α ⋅ X y X ⋅ α son ambas homogéneas con paridad | α | + | X |. Además, si R es superconmutativa, entonces se tiene

\alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .

Como transformaciones lineales

Las matrices ordinarias pueden considerarse como representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre espacios vectoriales (o módulos libres ). De igual modo, las supermatrices pueden considerarse como representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre superespacios vectoriales (o supermódulos libres ). Sin embargo, existe una diferencia importante en el caso graduado. Un homomorfismo de un superespacio vectorial a otro es, por definición, aquel que preserva la graduación (es decir, transforma elementos pares en elementos pares e impares en elementos impares). La representación de coordenadas de dicha transformación es siempre una supermatriz par . Las supermatrices impares corresponden a transformaciones lineales que invierten la graduación. Las supermatrices generales representan una transformación lineal arbitraria no graduada. Estas transformaciones siguen siendo importantes en el caso graduado, aunque en menor medida que las transformaciones graduadas (pares).

Un supermódulo M sobre una superálgebra R es libre si posee una base homogénea libre. Si dicha base consta de p elementos pares y q elementos impares, se dice que M tiene rango p | q . Si R es superconmutativa, el rango es independiente de la elección de la base, al igual que en el caso no graduado.

Sea R ^{p | q} el espacio de supervectores columna — supermatrices de dimensión ( p | q ) × (1|0). Este es, naturalmente, un R -supermódulo derecho, llamado espacio de coordenadas derechas . Una supermatriz T de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) puede considerarse entonces como una aplicación R -lineal derecha.

T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,

donde la acción de T sobre R ^{p | q} es simplemente una multiplicación de supermatrices (esta acción generalmente no es R -lineal por la izquierda, razón por la cual pensamos en R ^{p | q} como un supermódulo por la derecha ).

Sea M un R -supermódulo derecho libre de rango p | q y sea N un R -supermódulo derecho libre de rango r | s . Sea ( e _i ) una base libre para M y sea ( f _k ) una base libre para N. Esta elección de bases es equivalente a una elección de isomorfismos de M a R ^{p | q} y de N a R ^{r | s} . Cualquier aplicación lineal (no graduada)

T:M\to N\,

se puede escribir como una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ) relativa a las bases elegidas. Los componentes de la supermatriz asociada se determinan mediante la fórmula

T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.

La descomposición en bloques de una supermatriz T corresponde a la descomposición de M y N en submódulos pares e impares:

M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.

Operaciones

Muchas operaciones realizadas con matrices ordinarias pueden generalizarse a supermatrices, aunque las generalizaciones no siempre son obvias ni directas.

Supertransposición

La supertranspuesta de una supermatriz es el análogo graduado Z ₂ de la transpuesta . Sea

X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}

Sea X una supermatriz homogénea ( r | s ) × ( p | q ). La supertranspuesta de X es la supermatriz ( p | q ) × ( r | s ).

X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}

donde At denota la transpuesta ordinaria de A. Esto se puede extender a supermatrices arbitrarias por linealidad. A diferencia de la transpuesta ordinaria, la supertranspuesta no es generalmente una ^involución , sino que tiene orden 4. Aplicar la supertranspuesta dos veces a una supermatriz X da como resultado

(X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.

Si R es superconmutativo, la supertranspuesta satisface la identidad.

(XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,

transposición de paridad

La transpuesta de paridad de una supermatriz es una nueva operación sin un análogo no graduado. Sea

X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}

Sea una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ). La transpuesta de paridad de X es la supermatriz ( s | r ) × ( q | p ).

X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.

Es decir, el bloque ( i , j ) de la matriz transpuesta es el bloque (1 − i , 1 − j ) de la matriz original.

La operación de transposición de paridad obedece las identidades

$(X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,$
$(XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,$
$(\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }$
$(X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}$

así como

$\pi ^{2}=id\,$
$\pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}$

donde st denota la operación de supertransposición.

Supertrace

La supertraza de una supermatriz cuadrada es el análogo graduado Z _{2 de la}traza . Se define en supermatrices homogéneas mediante la fórmula

\mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,

donde tr denota la traza ordinaria.

Si R es superconmutativo, la supertraza satisface la identidad.

\mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,

para supermatrices homogéneas X e Y.

Bereziniano

El bereziniano (o superdeterminante ) de una supermatriz cuadrada es el análogo _graduadoZ2 del determinante . El bereziniano solo está bien definido en supermatrices pares e invertibles sobre una superálgebra conmutativa R. En este caso viene dado por la fórmula

\mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.

donde det denota el determinante ordinario (de matrices cuadradas con entradas en el álgebra conmutativa R ₀ ).

El bereziniano satisface propiedades similares al determinante ordinario. En particular, es multiplicativo e invariante bajo la supertranspuesta. Está relacionado con la supertraza mediante la fórmula

\mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,

Referencias

Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.
Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999). «Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)». Campos cuánticos y cuerdas: Un curso para matemáticos . Vol. 1. Sociedad Matemática Americana. págs. 41–97 . ISBN 0-8218-2012-5.