Álgebra superconmutativa

En matemáticas , un álgebra superconmutativa (asociativa) (a veces denominada superálgebra conmutativa ) es una superálgebra (es decir, un álgebra graduada Z 2 ₎ tal que para cualesquiera dos elementos homogéneos x , y tenemos ^{[ 1 ]}

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy,}$

donde | x | denota el grado del elemento y es 0 o 1 (en Z ₂ ) según si el grado es par o impar, respectivamente.

Equivalentemente, es una superálgebra donde el superconmutador

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

siempre se desvanece. Las estructuras algebraicas que superconmutan en el sentido anterior a veces se denominan álgebras asociativas anticonmutativas para enfatizar la anticonmutación, o, para enfatizar la graduación, graduadas conmutativas o, si se entiende la superconmutatividad, simplemente conmutativas .

Cualquier álgebra conmutativa es un álgebra superconmutativa si se le da la gradación trivial (es decir, si todos los elementos son pares). Las álgebras de Grassmann (también conocidas como álgebras exteriores ) son los ejemplos más comunes de álgebras superconmutativas no triviales. El supercentro de cualquier superálgebra es el conjunto de elementos que superconmutan con todos los demás elementos, y es un álgebra superconmutativa.

La subálgebra par de un álgebra superconmutativa es siempre un álgebra conmutativa . Es decir, los elementos pares siempre conmutan. Los elementos impares, por otro lado, siempre anticonmutan. Es decir,

${\displaystyle xy+yx=0\,}$

para x e y impares . En particular, el cuadrado de cualquier elemento impar x se anula siempre que 2 sea invertible:

${\displaystyle x^{2}=0.}$

Por lo tanto, una superálgebra conmutativa (con 2 componentes invertibles y de grado uno distinto de cero) siempre contiene elementos nilpotentes .

Un álgebra anticonmutativa graduada en Z con la propiedad de que x ² = 0 para todo elemento x de grado impar (independientemente de si 2 es invertible) se llama álgebra alternada . ^{[ 2 ]}

• anillo conmutativo graduado
• superálgebra de Lie