anillo semiprimo

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, los ideales semiprimos y los anillos semiprimos son generalizaciones de los ideales primos y los anillos primos . En álgebra conmutativa , los ideales semiprimos también se denominan ideales radicales y los anillos semiprimos son sinónimos de anillos reducidos.

Por ejemplo, en el anillo de enteros , los ideales semiprimos son el ideal cero, junto con aquellos ideales de la forma${\displaystyle n\mathbb {Z} }$donde n es un entero libre de cuadrados . Entonces,${\displaystyle 30\mathbb {Z} }$es un ideal semiprimo de los enteros (porque 30 = 2 × 3 × 5, sin factores primos repetidos), pero${\displaystyle 12\mathbb {Z} \,}$no lo es (porque 12 = 2 ² × 3, con un factor primo repetido).

La clase de anillos semiprimos incluye anillos semiprimitivos , anillos primos y anillos reducidos .

La mayoría de las definiciones y afirmaciones de este artículo aparecen en ( Lam 1999 ) y ( Lam 2001 ) .

Para un anillo conmutativo R , un ideal propio A es un ideal semiprimo si A satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• Si x ^k está en A para algún entero positivo k y elemento x de R , entonces x está en A .
• Si y está en R pero no en A , todas las potencias enteras positivas de y no están en A.

Esta última condición, la de que el complemento sea "cerrado bajo potencias", es análoga al hecho de que los complementos de ideales primos sean cerrados bajo la multiplicación.

Al igual que con los ideales primos, esto se extiende a los anillos no conmutativos "en términos de ideales". Las siguientes condiciones son definiciones equivalentes para un ideal semiprimo A en un anillo R :

• Para cualquier ideal J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A.
• Para cualquier ideal derecho J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A.
• Para cualquier ideal izquierdo J de R , si J ^k ⊆ A para un número natural positivo k , entonces J ⊆ A.
• Para cualquier x en R , si xRx ⊆ A , entonces x está en A.

Aquí también encontramos un análogo no conmutativo de los ideales primos como complementos de m-sistemas . Un subconjunto no vacío S de un anillo R se denomina n-sistema si para cualquier s en S , existe un r en R tal que srs pertenece a S. Con esta noción, se puede añadir un punto equivalente adicional a la lista anterior:

• R \ A es un sistema n.

El anillo R se denomina anillo semiprimo si el ideal cero es un ideal semiprimo. En el caso conmutativo, esto equivale a que R sea un anillo reducido , puesto que R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero. En el caso no conmutativo, el anillo simplemente no tiene ideales derechos nilpotentes distintos de cero. Por lo tanto, si bien un anillo reducido siempre es semiprimo, lo contrario no es cierto. ^{[ 1 ]}

Para empezar, está claro que los ideales primos son semiprimos, y que para los anillos conmutativos, un ideal primario semiprimo es primo.

Si bien la intersección de ideales primos no suele ser un ideal primo, sí lo es un ideal semiprimo. En breve se demostrará que lo contrario también es cierto: todo ideal semiprimo es la intersección de una familia de ideales primos.

Para cualquier ideal B en un anillo R , podemos formar los siguientes conjuntos:

${\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ un ideal primo}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ para algún }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}$

El conjunto${\displaystyle {\sqrt {B}}}$es la definición del radical de B y es claramente un ideal semiprimo que contiene a B , y de hecho es el ideal semiprimo más pequeño que contiene a B. La inclusión anterior a veces es propia en el caso general, pero para anillos conmutativos se convierte en una igualdad.

Con esta definición, un ideal A es semiprimo si y solo si${\displaystyle {\sqrt {A}}=A}$En este punto, también resulta evidente que todo ideal semiprimo es, de hecho, la intersección de una familia de ideales primos. Además, esto demuestra que la intersección de dos ideales semiprimos cualesquiera también es semiprima.

Por definición, R es semiprimo si y solo si${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}}$, es decir, la intersección de todos los ideales primos es cero. Este ideal${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}}$también se denota por${\displaystyle Nil_{*}(R)\,}$y también llamado nilradical inferior de Baer o radical de Baer -Mccoy o radical primo de R.

Un anillo de Goldie derecho es un anillo que tiene dimensión uniforme finita (también llamada rango finito ) como módulo derecho sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente sobre los anuladores derechos de sus subconjuntos. El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprimos son precisamente aquellos que poseen un anillo clásico derecho de cocientes artiniano semisimple . El teorema de Artin-Wedderburn determina entonces completamente la estructura de este anillo de cocientes.

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  131 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, MR 1838439 

• Ideal semiprimo en PlanetMath .