teoremas de cambio de base

En matemáticas , los teoremas de cambio de base relacionan la imagen directa y la imagen inversa de haces . Más precisamente, tratan sobre la transformación de cambio de base, dada por la siguiente transformación natural de haces:

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

dónde

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

es un cuadrado cartesiano de espacios topológicos y es un haz en X.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Tales teoremas existen en diferentes ramas de la geometría: para espacios topológicos (esencialmente arbitrarios) y aplicaciones propias f , en geometría algebraica para haces (cuasi)coherentes y f propia o g plana, de manera similar en geometría analítica , pero también para haces étale para f propia o g suave.

Un fenómeno simple de cambio de base surge en el álgebra conmutativa cuando A es un anillo conmutativo y B y A' son dos A - álgebras . Sea . En esta situación, dado un B - módulo M , existe un isomorfismo (de A'- módulos): ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Aquí el subíndice indica el functor olvidadizo , es decir, es M , pero considerado como un A- módulo. De hecho, tal isomorfismo se obtiene observando ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Así, las dos operaciones, es decir, los functores olvidadizos y los productos tensoriales , conmutan en el sentido del isomorfismo mencionado. Los teoremas de cambio de base que se analizan a continuación son enunciados de naturaleza similar.

Los teoremas de cambio de base que se presentan a continuación afirman que (para diferentes tipos de haces y bajo diversas suposiciones sobre los mapas involucrados), el siguiente mapa de cambio de base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

es un isomorfismo, donde

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

son mapas continuos entre espacios topológicos que forman un cuadrado cartesiano y es un haz en X . ^{[ 1 ]} Aquí denota la imagen directa superior de bajo f , es decir, el functor derivado de la imagen directa (también conocido como functor pushforward) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f_{*}}$

Este mapa existe sin ninguna suposición sobre los mapas f y g . Se construye de la siguiente manera: dado que es adjunto izquierdo de , existe un mapa natural (llamado mapa unitario). ${\displaystyle g'^{*}}$${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

y entonces

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

La secuencia espectral de Grothendieck proporciona entonces el primer mapa y el último mapa (son mapas de bordes) en:

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Combinando esto con lo anterior se obtienen

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Utilizando la adjunción de y finalmente se obtiene el mapa deseado. ${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g_{*}}$

El ejemplo introductorio mencionado anteriormente es un caso especial de esto, a saber, para los esquemas afines y, en consecuencia, , y el haz cuasi-coherente asociado al B -módulo M . ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

Es conceptualmente conveniente organizar los mapas de cambio base anteriores, que solo involucran un único functor de imagen directa superior, en uno que los codifique todos a la vez. De hecho, argumentos similares a los anteriores producen un mapa en la categoría derivada de haces en S':${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

donde denota el functor derivado (total) de . ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f_{*}}$

Si X es un espacio topológico de Hausdorff , S es un espacio de Hausdorff localmente compacto y f es universalmente cerrado (es decir, es una aplicación cerrada para cualquier aplicación continua ), entonces la aplicación de cambio de base es ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un isomorfismo. ^{[ 2 ]} En efecto, tenemos: para , ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

y así para${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Para codificar todos los functores derivados superiores individuales en una sola entidad, la afirmación anterior puede reformularse equivalentemente diciendo que el mapa de cambio base ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo .

Las suposiciones de que los espacios involucrados sean de Hausdorff han sido debilitadas por Schnürer y Soergel (2016) .

Lurie (2009) ha extendido el teorema anterior a la cohomología de haces no abelianos , es decir, haces que toman valores en conjuntos simpliciales (a diferencia de los grupos abelianos ). ^{[ 3 ]}

Si el mapa f no es cerrado, el mapa de cambio de base no tiene por qué ser un isomorfismo, como muestra el siguiente ejemplo (los mapas son las inclusiones estándar):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

Por un lado, siempre es cero, pero si es un sistema local en que corresponde a una representación del grupo fundamental (que es isomorfo a Z ), entonces se puede calcular como los invariantes de la acción de monodromía de sobre el tallo (para cualquier ), que no necesariamente se anulan. ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle x\neq 0}$

Para obtener un resultado de cambio de base, el functor (o su functor derivado) debe ser reemplazado por la imagen directa con soporte compacto . Por ejemplo, si es la inclusión de un subconjunto abierto, como en el ejemplo anterior, es la extensión por cero, es decir, sus tallos están dados por ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

En general, existe una aplicación que es un cuasi-isomorfismo si f es propia, pero no en general. El teorema de cambio de base propia mencionado anteriormente tiene la siguiente generalización: existe un cuasi-isomorfismo ^{[ 4 ].}${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Los teoremas de cambio de base propia para haces cuasi-coherentes se aplican en la siguiente situación: es un morfismo propio entre esquemas noetherianos , y es un haz coherente que es plano sobre S (es decir, es plano sobre ). En esta situación, se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[ 5 ]}${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• "Teorema de semicontinuidad":
  • Para cada , la función es semicontinua superiormente .${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • La función es localmente constante, donde denota la característica de Euler .${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• " Teorema de Grauert ": si S es reducido y conexo , entonces para cada uno de ellos se cumplen las siguientes condiciones equivalentes. ${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$es constante.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$es localmente gratuito y el mapa natural

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos .${\displaystyle s\in S}$

Además, si se cumplen estas condiciones, entonces el mapa natural

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos .${\displaystyle s\in S}$

• Si, para algún p , para todo , entonces el mapa natural${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todos .${\displaystyle s\in S}$

Como el tallo del haz está estrechamente relacionado con la cohomología de la fibra del punto bajo f , esta afirmación se parafrasea diciendo que "la cohomología conmuta con la extensión de la base". ^{[ 6 ]}${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Estas afirmaciones se demuestran utilizando el siguiente hecho, donde además de las suposiciones anteriores : existe un complejo finito de A- módulos proyectivos finitamente generados y un isomorfismo natural de functores. ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

en la categoría de -álgebras. ${\displaystyle A}$

El mapa de cambios base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

es un isomorfismo para un haz cuasi-coherente (en ), siempre que la aplicación sea plana (junto con una serie de condiciones técnicas: f debe ser un morfismo separado de tipo finito , los esquemas involucrados deben ser noetherianos). ^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

Es posible una extensión de gran alcance del cambio de base plana al considerar el mapa de cambio de base.

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

en la categoría derivada de haces en S', de forma similar a como se mencionó anteriormente. Aquí está el functor derivado (total) del retroceso de -módulos (porque implica un producto tensorial, no es exacto cuando g no es plano y por lo tanto no es igual a su functor derivado ). Este mapa es un cuasi-isomorfismo siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^{[ 8 ]}${\displaystyle Lg^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$es cuasicompacto y es cuasicompacto y cuasiseparado,${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un objeto en , la categoría derivada acotada de -módulos, y sus haces de cohomología son cuasi-coherentes (por ejemplo, podría ser un complejo acotado de haces cuasi-coherentes).${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$y son Tor-independientes sobre , lo que significa que si y satisfacen , entonces para todos los enteros ,${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s'\in S'}$${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$.

• Se cumple una de las siguientes condiciones:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$tiene amplitud plana finita en relación con , lo que significa que es cuasi-isomorfo en a un complejo tal que es -plano para todo fuera de algún intervalo acotado ; equivalentemente, existe un intervalo tal que para cualquier complejo en , se tiene para todo fuera de ; o${\displaystyle f}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$tiene dimensión Tor finita, lo que significa que tiene amplitud plana finita en relación con .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$${\displaystyle g}$

Una ventaja de esta formulación es que la hipótesis de planitud se ha debilitado. Sin embargo, para realizar cálculos concretos de la cohomología de los lados izquierdo y derecho ahora se requiere la secuencia espectral de Grothendieck .

La geometría algebraica derivada proporciona un medio para abandonar la suposición de planitud, siempre que el retroceso se reemplace por el retroceso homotópico . En el caso más sencillo, cuando X , S y son afines (con la notación anterior), el retroceso homotópico viene dado por el producto tensorial derivado .${\displaystyle X'}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Entonces, suponiendo que los esquemas (o, más generalmente, los esquemas derivados) involucrados son cuasi-compactos y cuasi-separados, la transformación natural

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo para cualquier haz cuasi-coherente, o más generalmente un complejo de haces cuasi-coherentes. ^{[ 9 ]} El resultado de cambio de base plana mencionado anteriormente es de hecho un caso especial ya que para g plana la retrocesión homotópica (que está dada localmente por un producto tensorial derivado) coincide con la retrocesión ordinaria (dada localmente por el producto tensorial no derivado), y puesto que la retrocesión a lo largo de los mapas planos g y g' se derivan automáticamente (es decir, ). Las suposiciones auxiliares relacionadas con la independencia de Tor o la amplitud de Tor en el teorema de cambio de base anterior también se vuelven innecesarias. ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

En la forma anterior, el cambio de base ha sido extendido por Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) a la situación en la que X , S y S' son pilas (posiblemente derivadas) , siempre que la aplicación f sea una aplicación perfecta (lo que incluye el caso en que f es una aplicación cuasicompacta y cuasi-separada de esquemas, pero también incluye pilas más generales, como la pila de clasificación BG de un grupo algebraico en característica cero).

El cambio de base propio también se cumple en el contexto de variedades complejas y espacios analíticos complejos . ^{[ 10 ]} El teorema sobre funciones formales es una variante del cambio de base propio, donde el retroceso se reemplaza por una operación de completación .

El principio de balancín y el teorema del cubo , que son hechos fundamentales en la teoría de las variedades abelianas , son consecuencia del cambio de base propio. ^{[ 11 ]}

Un cambio de base también se cumple para los D-módulos : si X , S , X' y S' son variedades lisas (pero f y g no tienen por qué ser planas o propias, etc.), existe un cuasi-isomorfismo.

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

donde y denotan los functores de imagen inversa y directa para D -módulos. ^{[ 12 ]}${\displaystyle -^{\dagger }}$${\displaystyle \int }$

Para haces de torsión étale , existen dos resultados de cambio de base denominados cambio de base propio y cambio de base suave , respectivamente: el cambio de base se cumple si ^es propio . [ ^{13 ] También} se cumple si g es suave , siempre que f sea cuasicompacto y siempre que la torsión de sea prima con la característica de los campos residuales de X. ^{[ 14} ]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Estrechamente relacionado con el cambio de base propio está el siguiente hecho (los dos teoremas suelen demostrarse simultáneamente): sea X una variedad sobre un cuerpo separadoramente cerrado y un haz construible sobre . Entonces son finitos en cada uno de los siguientes casos: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• X está completo, o
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$no tiene p -torsión, donde p es la característica de k .

Bajo supuestos adicionales, Deninger (1988) extendió el teorema del cambio de base propia a haces étales sin torsión.

En estrecha analogía con la situación topológica mencionada anteriormente, el mapa de cambio base para una inmersión abierta f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

no suele ser un isomorfismo. ^{[ 15 ]} En cambio, la extensión por functor cero satisface un isomorfismo. ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Este hecho y el cambio de base apropiado sugieren definir el functor de imagen directa con soporte compacto para un mapa f mediante

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

donde es una compactificación de f , es decir, una factorización en una inmersión abierta seguida de una aplicación propia. Se necesita el teorema del cambio de base propia para demostrar que esto está bien definido, es decir, independiente (salvo isomorfismo) de la elección de la compactificación. Además, de nuevo por analogía con el caso de haces en un espacio topológico, una fórmula de cambio de base para vs. se cumple para aplicaciones no propias f . ${\displaystyle f=p\circ j}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle Rf_{!}}$

Para el mapa estructural de un esquema sobre un cuerpo k , las cohomologías individuales de , denotadas por , se denominan cohomología con soporte compacto . Es una variante importante de la cohomología étale usual . ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

Ideas similares también se utilizan para construir un análogo del functor en la teoría de homotopía A ¹ . ^{[ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle Rf_{!}}$

• El punto de vista relativo de Grothendieck en geometría algebraica
• Cambio de base (desambiguación)
• Elevación de cambio de base de formas automórficas

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• Berthelot, Pierre ; Grothendieck, Alejandro ; Illusie, Luc (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clase de matemáticas 225 ) (en francés), Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283 , ISBN 978-3-540-05647-8
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• Vakil, Ravi (2015), Fundamentos de geometría algebraica (PDF)

• Material de apoyo de Brian Conrad
• Problemas con la semicontinuidad