pila de cocientes

En geometría algebraica , una pila cociente es una pila que parametriza objetos equivariantes. Geométricamente, generaliza el cociente de un esquema o una variedad mediante un grupo : una variedad cociente, por ejemplo, sería una aproximación burda de una pila cociente.

Este concepto es de fundamental importancia en el estudio de las pilas: una pila que surge en la naturaleza suele ser una pila cociente en sí misma o admite una estratificación mediante pilas cociente (por ejemplo, una pila de Deligne-Mumford ). Una pila cociente también se utiliza para construir otras pilas, como las pilas de clasificación .

Definición

Una pila cociente se define de la siguiente manera. Sea G un esquema de grupo suave afín sobre un esquema S y X un esquema S sobre el cual actúa G. Sea la pila cociente. $[X/G]$ sea la categoría sobre la categoría de esquemas S , donde

un objeto sobre T es un fibrado G principal $P\to T$ junto con el mapa equivariante $P\to X$ ;
un morfismo de $P\to T$ a $P'\to T'$ es un mapa de fibrado (es decir, forma un diagrama conmutativo) que es compatible con los mapas equivariantes $P\to X$ y $P'\to X$ .

Supongamos que el cociente $X/G$ existe como un espacio algebraico (por ejemplo, por el teorema de Keel-Mori ). El mapa canónico

[X/G]\to X/G

,

que envía un haz P sobre T a un punto T correspondiente , ^{[ 1 ]} no tiene por qué ser un isomorfismo de pilas; es decir, el espacio "X/G" suele ser más grueso. El mapa canónico es un isomorfismo si y solo si los estabilizadores son triviales (en cuyo caso $X/G$ existe).

En general, $[X/G]$ es una pila de Artin (también llamada pila algebraica). Si los estabilizadores de los puntos geométricos son finitos y reducidos, entonces es una pila de Deligne-Mumford .

Burt Totaro ( 2004 ) demostró que, sea X una pila algebraica noetheriana normal cuyos grupos estabilizadores en puntos cerrados son afines, entonces X es una pila cociente si y solo si posee la propiedad de resolución ; es decir, todo haz coherente es un cociente de un fibrado vectorial. Anteriormente, Robert Wayne Thomason demostró que una pila cociente posee la propiedad de resolución.

Nota: Es posible abordar la construcción desde el punto de vista de los haces simpliciales . ^{[ 2 ]} Véase también: diagrama simplicial .

Ejemplos

Un orbifold cociente efectivo , por ejemplo, $[M/G]$ donde el $G$ La acción solo tiene estabilizadores finitos en el espacio liso. $M$ , es un ejemplo de una pila de cocientes. ^{[ 3 ]}

Si $X=S$ con acción trivial de $G$ (a menudo $S$ es un punto), entonces $[S/G]$ se denomina pila de clasificación de $G$ (en analogía con el espacio de clasificación de $G$ ) y se suele denotar por $BG$ El teorema de Borel describe el anillo de cohomología de la pila clasificadora .

Módulos de haces de líneas

Uno de los ejemplos básicos de pilas de cocientes proviene de la pila de módulos. $B\mathbb {G} _{m}$ de paquetes de líneas $[*/\mathbb {G} _{m}]$ encima ${\text{Sch}}$ , o $[S/\mathbb {G} _{m}]$ encima ${\text{Sch}}/S$ para lo trivial $\mathbb {G} _{m}$ -acción sobre $S$ . Para cualquier plan (o $S$ -esquema) $X$ , el $X$ -Los puntos de la pila de módulos son el grupoide de principal $\mathbb {G} _{m}$ -paquetes $P\to X$ .

Módulos de haces de líneas con n secciones

Existe otra pila de módulos estrechamente relacionada dada por $[\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]$ que es la pila de módulos de haces de líneas con $n$ -secciones. Esto se deduce directamente de la definición de pilas de cociente evaluadas en puntos. Para un esquema $X$ , el $X$ -los puntos son el grupoide cuyos objetos están dados por el conjunto

$[\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ es }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariante y}}\\&P\to X{\text{ es un }}\mathbb {G} _{m}{\text{-fibrado}} principal}}\end{aligned}}\right\}$

El morfismo de la fila superior corresponde al $n$ -secciones del haz de líneas asociado sobre $X$ Esto se puede encontrar anotando dando un $\mathbb {G} _{m}$ -mapa equivariante $\phi :P\to \mathbb {A} ^{1}$ y restringiéndolo a la fibra $P|_{x}$ proporciona los mismos datos que una sección $\sigma$ del paquete. Esto se puede comprobar mirando un gráfico y enviando un punto. $x\in X$ al mapa $\phi _{x}$ , observando el conjunto de $\mathbb {G} _{m}$ -mapas equivariantes $P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}$ es isomorfo a $\mathbb {G} _{m}$ Esta construcción luego se globaliza al unir diagramas afines, dando como resultado una sección global del conjunto. Dado que $\mathbb {G} _{m}$ -mapas equivariantes a $\mathbb {A} ^{n}$ es equivalente a un $n$ -tupla de $\mathbb {G} _{m}$ -mapas equivariantes a $\mathbb {A} ^{1}$ El resultado se mantiene.

Módulos de leyes de grupo formales

Ejemplo: ^{[ 4 ]} Sea L el anillo de Lazard ; es decir, $L=\pi _{*}\operatorname {MU}$ . Luego la pila de cocientes $[\operatorname {Spec} L/G]$ por $G$ ,

G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}

,

se denomina pila de módulos de leyes de grupo formales , denotada por ${\mathcal {M}}_{\text{FG}}$ .

Véase también

Cociente de homotopía
Pila de módulos de haces principales (que, aproximadamente, es un producto infinito de pilas de clasificación).
Acción del plan de grupo
Módulos de curvas algebraicas

Referencias

↑ El punto T se obtiene completando el diagrama. $T\leftarrow P\to X\to X/G$ .
↑ Jardine, John F. (2015). Teoría de la homotopía local . Monografías de Springer en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. Sección 9.2. doi : 10.1007/978-1-4939-2300-7 . MR 3309296 .
↑ "Definición 1.7". Orbifolds y topología de cuerdas . Cambridge Tracts in Mathematics. pág. 4.
↑ Tomado de http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75– 109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , MR 0262240
Totaro, Burt (2004). "La propiedad de resolución de esquemas y pilas". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 577 : 1– 22. arXiv : matemáticas/0207210 . doi : 10.1515/crll.2004.2004.577.1 . SEÑOR 2108211 .

Algunas otras referencias son

Behrend, Kai (1991). La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de haces principales (PDF) (Tesis). Universidad de California, Berkeley.
Edidin, Dan. "Notas sobre la construcción del espacio de módulos de curvas" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 16 de mayo de 2013. Consultado el 19 de septiembre de 2013 .

[1] El punto T se obtiene completando el diagrama. $T\leftarrow P\to X\to X/G$ .

[2] Jardine, John F. (2015). Teoría de la homotopía local . Monografías de Springer en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. Sección 9.2. doi : 10.1007/978-1-4939-2300-7 . MR 3309296 .

[3] "Definición 1.7". Orbifolds y topología de cuerdas . Cambridge Tracts in Mathematics. pág. 4.

[4] Tomado de http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

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