Pila de módulos de haces principales

En geometría algebraica , dada una curva proyectiva suave X sobre un campo finito${\displaystyle \mathbf {F} _ {q}}$y un esquema de grupo afín suave G sobre él, la pila de módulos de fibrados principales sobre X , denotada por${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$, es una pila algebraica dada por: ^{[ 1 ]} para cualquier${\displaystyle \mathbf {F} _ {q}}$-álgebra R ,

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$la categoría de G -fibrados principales sobre la curva relativa${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$.

En particular, la categoría de${\displaystyle \mathbf {F} _ {q}}$-puntos de${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$, eso es,${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$, es la categoría de G -fibrados sobre X .

Similarmente,${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$También se puede definir cuando la curva X está sobre el campo de los números complejos. Aproximadamente, en el caso complejo, se puede definir${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$como la pila de cocientes del espacio de conexiones holomorfas en X por el grupo de calibre . Reemplazar la pila de cocientes (que no es un espacio topológico) por un cociente de homotopía (que sí es un espacio topológico) da el tipo de homotopía de${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$.

En el caso de campo finito, no es común definir el tipo de homotopía de${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$. Pero aún se puede definir una cohomología ( suave ) y una homología de${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$.

Se sabe que${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$es una pila suave de dimensión${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$dónde${\displaystyle g(X)}$es el género de X. No es de tipo finito, pero sí localmente; por lo tanto, se suele utilizar una estratificación por subpilas abiertas de tipo finito (cf. la estratificación de Harder-Narasimhan ), también para G parahórico sobre la curva X véase ^{[ 2 ]} y para G solo un esquema de grupo plano de tipo finito sobre X véase ^{[ 3 ] .}

Si G es un grupo reductivo dividido, entonces el conjunto de componentes conexas${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$está en biyección natural con el grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(G)}$. ^{[ 4 ]}

Esta es una versión (conjetural) de la fórmula de traza de Lefschetz para${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$cuando X está sobre un cuerpo finito, introducido por Behrend en 1993. ^{[ 5 ]} Afirma: ^{[ 6 ]} si G es un esquema de grupo afín suave con fibra genérica semisimple conexa , entonces

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

donde (véase también la fórmula de traza de Behrend para más detalles)

• l es un número primo que no es p y el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} _ {l}}$de enteros l-ádicos se considera como un subanillo de${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• ${\displaystyle \phi }$es el Frobenius geométrico .
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, la suma que recorre todas las clases de isomorfismo de fibrados G en X y converge.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$para un espacio vectorial graduado${\displaystyle V_{*}}$, siempre que la serie de la derecha converja absolutamente.

A priori, ni el lado izquierdo ni el derecho de la fórmula convergen. Por lo tanto, la fórmula establece que ambos lados convergen a números finitos y que esos números coinciden.

• Heinloth, Jochen (2010), "Lectures on the moduli stack of vector bundles on a curve" (PDF) , en Schmitt, Alexander (ed.), Affine flag manifolds and principal bundles , Trends in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, pp. 123–153 , doi : 10.1007/978-3-0346-0288-4_4 , ISBN  978-3-0346-0287-7, MR 3013029 
• J. Heinloth, AHW Schmitt, El anillo de cohomología de pilas de módulos de haces principales sobre curvas, preimpresión de 2010, disponible en http://www.uni-essen.de/~hm0002/ .
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), La conjetura de Weil para cuerpos de funciones, Vol. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, vol.  199, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8, MR 3887650 

• C. Sorger, Lecciones sobre módulos de fibrados G principales sobre curvas algebraicas

• Conjeturas geométricas de Langlands
• Espacio corrido
• Pila de módulos de haces vectoriales