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pila algebraica

En matemáticas, una pila algebraica es una vasta generalización de los espacios algebraicos , o esquemas , que son fundamentales para el estudio de la teoría de módulos . Muchos...

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En matemáticas, una pila algebraica es una vasta generalización de los espacios algebraicos , o esquemas , que son fundamentales para el estudio de la teoría de módulos . Muchos espacios de módulos se construyen utilizando técnicas específicas de las pilas algebraicas, como el teorema de representabilidad de Artin , que se utiliza para construir el espacio de módulos de curvas algebraicas puntuales.METROgramo,norte{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}y la pila de módulos de curvas elípticas . Originalmente, fueron introducidas por Alexander Grothendieck [ 1 ] para realizar un seguimiento de los automorfismos en espacios de módulos, una técnica que permite tratar estos espacios de módulos como si sus esquemas subyacentes o espacios algebraicos fueran suaves . Después de que Grothendieck desarrollara la teoría general del descenso [ 2 ] y Giraud la teoría general de pilas [ 3 ], la noción de pilas algebraicas fue definida por Michael Artin [ 4 ] .

Definición

Motivación

Uno de los ejemplos que motivan el uso de una pila algebraica es considerar un esquema de grupoide.(R,U,s,t,metro){\displaystyle (R,U,s,t,m)}sobre un esquema fijoS{\displaystyle S}. Por ejemplo, siR=μnorte×SASnorte{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(dóndeμnorte{\displaystyle \mu _{n}}es el esquema de grupo de raíces de la unidad ),U=ASnorte{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}},s=prU{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}es el mapa de proyección,t{\displaystyle t}es la acción grupal

ζnorte⋅(incógnita1,…,incógnitanorte)=(ζnorteincógnita1,…,ζnorteincógnitanorte){\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})}

ymetro{\displaystyle m}es el mapa de multiplicación

metro:(μnorte×SASnorte)×μnorte×SASnorte(μnorte×SASnorte)→μnorte×SASnorte{\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}

enμnorte{\displaystyle \mu _{n}}. Luego, dado unS{\displaystyle S}-esquemaπ:incógnita→S{\displaystyle \pi :X\to S}, el esquema de grupoide(R(incógnita),U(incógnita),s,t,metro){\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}forma un grupoide (dondeR,U{\displaystyle R,U}son sus functores asociados). Además, esta construcción es funtorial en(Sdoh/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}formando un 2-functor contravariante

(R(−),U(−),s,t,metro):(Sdoh/S)opag→Gato{\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}

dóndeGato{\displaystyle {\text{Gato}}}es la 2-categoría de categorías pequeñas . Otra forma de verlo es como una categoría fibrada.[U/R]→(Sdoh/S){\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}a través de la construcción de Grothendieck . Obtener las condiciones técnicas correctas, como la topología de Grothendieck en(Sdoh/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}, da la definición de una pila algebraica. Por ejemplo, en el grupoide asociado dek{\displaystyle k}-puntos para un campok{\displaystyle k}, sobre el objeto de origen0∈ASnorte(k){\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}ahí está el grupoide de automorfismosμnorte(k){\displaystyle \mu _{n}(k)}Sin embargo, para obtener una pila algebraica de[U/R]{\displaystyle [U/R]}y no solo una pila, se requieren hipótesis técnicas adicionales para[U/R]{\displaystyle [U/R]}. [ 5 ]

Pilas algebraicas

Resulta que al usar la topología fppf [ 6 ] (fielmente plana y localmente de presentación finita ) en(Sdoh/S){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}, denotado(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}, constituye la base para definir pilas algebraicas. Entonces, una pila algebraica [ 7 ] es una categoría fibrada.

pag:incógnita→(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}

de tal manera que

  1. incógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}es una categoría fibrada en grupoides , lo que significa la sobrecategoría para algunosπ:incógnita→S{\displaystyle \pi :X\to S}es un grupoide
  2. El mapa diagonalΔ:incógnita→incógnita×Sincógnita{\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}} de categorías fibradas es representable como espacios algebraicos
  3. Existe unFpagpagF{\displaystyle fppf}esquemaU→S{\displaystyle U\to S}y un 1-morfismo asociado de categorías fibradasU→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}que es sobreyectivo y suave llamado atlas .

Explicación de las condiciones técnicas

Utilizando la topología fppf

En primer lugar, se utiliza la topología fppf porque se comporta bien con respecto al descenso . Por ejemplo, si hay esquemasincógnita,Y∈Transmisión exterior⁡(Sdoh/S){\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}yincógnita→Y{\displaystyle X\to Y}puede refinarse a una cubierta fppf deY{\displaystyle Y}, siincógnita{\displaystyle X}es plano, de tipo localmente finito o de presentación localmente finita, entoncesY{\displaystyle Y}tiene esta propiedad. [ 8 ] Este tipo de idea se puede extender aún más considerando propiedades locales ya sea en el objetivo o en el origen de un morfismo.F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Para una portada{incógnitai→incógnita}i∈I{\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}decimos una propiedadPAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}es local en la fuente si

F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}tienePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}si y solo si cadaincógnitai→Y{\displaystyle X_{i}\to Y}tienePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}.

Existe una noción análoga en el objetivo llamada local en el objetivo . Esto significa dada una cobertura{Yi→Y}i∈I{\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}

F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}tienePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}si y solo si cadaincógnita×YYi→Yi{\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}tienePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}.

Para la topología fppf, tener una inmersión es local en el objetivo. [ 9 ] Además de las propiedades anteriores locales en la fuente para la topología fppf,F{\displaystyle f}Ser universalmente abierto también es local en la fuente. [ 10 ] Además, ser localmente noetheriano y jacobsoniano es local en la fuente y el destino para la topología fppf. [ 11 ] Esto no se cumple en la topología fpqc, lo que la hace menos "buena" en términos de propiedades técnicas. Aunque esto sea cierto, el uso de pilas algebraicas sobre la topología fpqc todavía tiene su utilidad, como en la teoría de homotopía cromática . Esto se debe a la pila de módulos de leyes de grupo formales.METROFgramo{\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}es una pila fpqc-algebraica [ 12 ] pág. 40 .

Diagonal representable

Por definición, un 1-morfismoF:incógnita→Y{\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}de categorías fibradas en grupoides es representable por espacios algebraicos [ 13 ] si para cualquier morfismo fppfU→S{\displaystyle U\to S}de esquemas y cualquier 1-morfismoy:(Sdoh/U)FpagpagF→Y{\displaystyle y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}}, la categoría asociada fibrada en grupoides

(Sdoh/U)FpagpagF×Yincógnita{\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}

es representable como un espacio algebraico , [ 14 ] [ 15 ] lo que significa que existe un espacio algebraico

F:(Sdoh/S)FpagpagFopag→Smits{\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}

de tal manera que la categoría de fibras asociadaSF→(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}}[ 16 ] es equivalente a(Sdoh/U)FpagpagF×Yincógnita{\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}. Existen varias condiciones equivalentes para la representabilidad de la diagonal [ 17 ] que ayudan a dar intuición para esta condición técnica, pero una de las principales motivaciones es la siguiente: para un esquemaU{\displaystyle U}y objetosincógnita,y∈Transmisión exterior⁡(incógnitaU){\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}el hazIsom⁡(incógnita,y){\displaystyle \operatorname {Isom} (x,y)}es representable como un espacio algebraico. En particular, el grupo estabilizador para cualquier punto en la pilaincógnita:Especulación⁡(k)→incógnitaEspeculación⁡(k){\displaystyle x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}}es representable como un espacio algebraico. Otra equivalencia importante de tener una diagonal representable es la condición técnica de que la intersección de cualesquiera dos espacios algebraicos en una pila algebraica sea un espacio algebraico. Reformulado usando productos de fibra

Y×incógnitaZ→Y↓↓Z→incógnita{\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}}

la representabilidad de la diagonal es equivalente aY→incógnita{\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}ser representable para un espacio algebraicoY{\displaystyle Y}Esto se debe a que se dan morfismosY→incógnita,Z→incógnita{\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}Desde espacios algebraicos, se extienden a mapas.incógnita×incógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}del mapa diagonal. Existe una afirmación análoga para espacios algebraicos que da la representabilidad de un haz en(F/S)FpagpagF{\displaystyle (F/S)_{fppf}}como un espacio algebraico. [ 18 ]

Nótese que una condición análoga de representabilidad de la diagonal se cumple para algunas formulaciones de pilas superiores [ 19 ] donde el producto fibra es un(norte−1){\displaystyle (n-1)}-pila para unnorte{\displaystyle n}-pilaincógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}.

Atlas sobreyectivo y suave

2-Lema de Yoneda

La existencia de unFpagpagF{\displaystyle fppf}esquemaU→S{\displaystyle U\to S}y un 1-morfismo de categorías fibradasU→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}que sea sobreyectivo y liso depende de definir morfismos lisos y sobreyectivos de categorías fibradas. AquíU{\displaystyle {\mathcal {U}}}es la pila algebraica del functor representablehU{\displaystyle h_{U}}enhU:(Sdoh/S)FpagpagFopag→Smits{\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}actualizado a una categoría fibrada en grupoides donde las categorías solo tienen morfismos triviales. Esto significa que el conjunto

hU(T)=Inicio(Sdoh/S)FpagpagF(T,U){\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}

se considera como una categoría, denotadahU(T){\displaystyle h_{\mathcal {U}}(T)}, con objetos enhU(T){\displaystyle h_{U}(T)}comoFpagpagF{\displaystyle fppf}morfismos

F:T→U{\displaystyle f:T\to U}

y los morfismos son el morfismo identidad. Por lo tanto,

hU:(Sdoh/S)FpagpagFopag→GRAMOrotúpagoids{\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}

es un 2-functor de grupoides. Demostrar que este 2-functor es un haz es el contenido del lema de 2-Yoneda . Usando la construcción de Grothendieck, hay una categoría asociada fibrada en grupoides denotadaU→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}.

Morfismos representables de categorías fibradas en grupoides

Para decir este morfismoU→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}es suave o sobreyectivo, tenemos que introducir morfismos representables. [ 20 ] Un morfismopag:incógnita→Y{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}de categorías fibradas en grupoides sobre(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}Se dice que es representable si se le da un objeto.T→S{\displaystyle T\to S}en(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}y un objetot∈Transmisión exterior(YT){\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}el producto de 2 fibras

(Sdoh/T)FpagpagF×t,YincógnitaT{\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}

es representable por un esquema. Entonces, podemos decir que el morfismo de categorías fibradas en grupoidespag{\displaystyle p}es suave y sobreyectivo si el morfismo asociado

(Sdoh/T)FpagpagF×t,YincógnitaT→(Sdoh/T)FpagpagF{\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}

de esquemas es suave y sobreyectivo.

Pilas Deligne-Mumford

Las pilas algebraicas, también conocidas como pilas de Artin , están por definición equipadas con un atlas sobreyectivo suave.U→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}, dóndeU{\displaystyle {\mathcal {U}}}es la pila asociada a algún esquemaU→S{\displaystyle U\to S}. Si el atlasU→incógnita{\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}es además étale, entoncesincógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}Se dice que es una pila de Deligne-Mumford . La subclase de pilas de Deligne-Mumford es útil porque proporciona el marco correcto para muchas pilas naturales consideradas, como la pila de módulos de curvas algebraicas . Además, son lo suficientemente estrictas como para que los objetos representados por puntos en pilas de Deligne-Mumford no tengan automorfismos infinitesimales . Esto es muy importante porque los automorfismos infinitesimales hacen que el estudio de la teoría de deformación de las pilas de Artin sea muy difícil. Por ejemplo, la teoría de deformación de la pila de ArtinBGRAMOLnorte=[∗/GRAMOLnorte]{\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}, la pila de módulos de rangonorte{\displaystyle n}Los haces vectoriales tienen automorfismos infinitesimales controlados parcialmente por el álgebra de Lie.gramolnorte{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}Esto conduce a una secuencia infinita de deformaciones y obstrucciones en general, lo cual es una de las motivaciones para estudiar los módulos de fibrados estables . Solo en el caso especial de la teoría de deformación de fibrados lineales[∗/GRAMOL1]=[∗/GRAMOmetro]{\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}¿Es manejable la teoría de la deformación, dado que el álgebra de Lie asociada es abeliana ?

Nótese que muchas pilas no pueden representarse naturalmente como pilas de Deligne-Mumford porque solo permiten recubrimientos finitos, o pilas algebraicas con recubrimientos finitos. Nótese que, dado que todo recubrimiento étale es plano y localmente de presentación finita, las pilas algebraicas definidas con la topología fppf engloban esta teoría; sin embargo, sigue siendo útil ya que muchas pilas que se encuentran en la naturaleza tienen esta forma, como los módulos de curvas.METROgramo{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}. Además, el análogo geométrico diferencial de tales pilas se denomina orbifolds . La condición étale implica el 2-functor

Bμnorte:(Sdoh/S)operación→Gato{\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}

enviar un esquema a su grupoide deμnorte{\displaystyle \mu _{n}}- torsors se puede representar como una pila sobre la topología Etale, pero la pila PicardBGRAMOmetro{\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}deGRAMOmetro{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}-torsores (equivalentemente la categoría de haces de líneas) no es representable. Las pilas de esta forma son representables como pilas sobre la topología fppf. Otra razón para considerar la topología fppf frente a la topología étale es sobre la característicapag{\displaystyle p}la secuencia de Kummer

0→μpag→GRAMOmetro→GRAMOmetro→0{\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}

es exacto solo como una secuencia de haces fppf, pero no como una secuencia de haces étale.

Definición de pilas algebraicas sobre otras topologías

Utilizando otras topologías de Grothendieck en(F/S){\displaystyle (F/S)}ofrece teorías alternativas de pilas algebraicas que no son suficientemente generales o no se comportan bien con respecto al intercambio de propiedades desde la base de una cubierta al espacio total de una cubierta. Es útil recordar que existe la siguiente jerarquía de generalización.

fpqc⊃fppf⊃liso⊃etale⊃Zariski{\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}

de grandes topologías en(F/S){\displaystyle (F/S)}.

Pasillo de estructura

El haz estructural de una pila algebraica es un objeto extraído de un haz estructural universal.O{\displaystyle {\mathcal {O}}}en el sitio(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}. [ 21 ] Este haz de estructura universal [ 22 ] se define como

O:(Sdoh/S)FpagpagFopag→Rinortegramos, dónde U/incógnita↦Γ(U,OU){\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}

y el haz de estructura asociado en una categoría fibrada en grupoides

pag:incógnita→(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}

se define como

Oincógnita:=pag−1O{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}

dóndepag−1{\displaystyle p^{-1}}proviene del mapa de topologías de Grothendieck. En particular, esto significa que siincógnita∈Transmisión exterior(incógnita){\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}yace sobreU{\displaystyle U}, entoncespag(incógnita)=U{\displaystyle p(x)=U}, entoncesOincógnita(incógnita)=Γ(U,OU){\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}. Como comprobación de cordura, vale la pena comparar esto con una categoría fibrada en grupoides provenientes de unS{\displaystyle S}-esquemaincógnita{\displaystyle X}para diversas topologías. [ 23 ] Por ejemplo, si

(incógnitaZar,Oincógnita)=((Sdoh/incógnita)Zar,Oincógnita){\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})}

es una categoría fibrada en grupoides sobre(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}, el haz de estructura para un subesquema abiertoU→incógnita{\displaystyle U\to X}da

Oincógnita(U)=Oincógnita(U)=Γ(U,Oincógnita){\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}

Por lo tanto, esta definición recupera la estructura clásica de haz en un esquema. Además, para una pila de cocientesincógnita=[incógnita/GRAMO]{\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]}, la estructura del haz esto simplemente da elGRAMO{\displaystyle G}-secciones invariantes

Oincógnita(U)=Γ(U,tú∗Oincógnita)GRAMO{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}

paratú:U→incógnita{\displaystyle u:U\to X}en(Sdoh/S)FpagpagF{\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}. [ 24 ] [ 25 ]

Ejemplos

Clasificación de pilas

Muchas pilas de clasificación para grupos algebraicos son pilas algebraicas. De hecho, para un espacio de grupo algebraicoGRAMO{\displaystyle G}sobre un planS{\displaystyle S}que es plano de presentación finita, la pilaBGRAMO{\displaystyle BG}es algebraico [ 4 ] teorema 6.1 .

Véase también

Referencias

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  16. ↑Smits→doat{\displaystyle Sets\to Cat}¿El incrustado está enviando un conjunto?S{\displaystyle S}a la categoría de objetosS{\displaystyle S}y solo morfismos identidad. Entonces, la construcción de Grothendieck se puede aplicar para dar una categoría fibrada en grupoides.
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Axiomas de Artin

  • https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Consulta "Axiomas" y "Pilas algebraicas"
  • Álgebraización de Artin y pilas de cocientes - Jarod Alper

Papeles

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Aplicaciones

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  • Knudsen, Finn F. (1983). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, II: Las pilasMETROgramo,norte{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}" . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
  • Jiang, Yunfeng (2019). "Sobre la construcción de pilas de módulos de haces de Higgs proyectivos sobre superficies". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Otro

  • Ejemplos de pilas
  • Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría del descenso.
  • Notas sobre pilas algebraicas