Módulos de curvas algebraicas

El espacio de módulos clásico de curvas elípticas es el cociente del semiplano superior por el grupo modular . Un dominio fundamental para esta acción está sombreado; el espacio de módulos es ese dominio, una vez que las aristas han sido debidamente identificadas y compactadas.

En geometría algebraica , un espacio de módulos de curvas es un espacio cuyos puntos corresponden a clases de isomorfismo de curvas algebraicas . El término "módulo" fue introducido con este propósito por Bernhard Riemann y significa "parámetro"; por lo tanto, un "espacio de módulos" es un espacio que proporciona parámetros que especifican todas las curvas de un tipo dado. Con un espacio de módulos, en lugar de estudiar una curva a la vez, se estudian todas las curvas de un tipo dado como miembros de una única familia geométrica. El espacio de módulos de curvas (de un tipo dado) es un caso especial de la noción más general de espacio de módulos , que proporciona un espacio de parámetros para otros tipos de objetos (curvas, superficies, etc.).

Las distintas condiciones elegidas dan lugar a diferentes espacios de módulos. Por ejemplo, se puede fijar el género , permitir solo curvas suaves o también ciertas curvas singulares, o incluir puntos marcados. Según el problema, el objeto de módulos puede construirse como un esquema , un espacio algebraico o, de forma más natural, como una pila algebraica . En muchos casos, existe tanto un espacio de módulos grueso , que registra las clases de isomorfismo de las curvas, como una pila más fina que también registra sus automorfismos.

Un ejemplo bien estudiado son los módulos de curvas proyectivas suaves de género $g$ . Sobre el campo de los números complejos , estos corresponden a superficies de Riemann compactas . Clásicamente, el espacio de módulos (grueso) de género $g=1$ Las curvas que tienen un punto marcado ( grupos de curvas elípticas ) son la curva modular (clásica) . Para $g>1$ , la pila de módulos de curvas suaves se denota ${\mathcal {M}}_{g}$ y su compactificación mediante curvas nodales estables se denota ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ Estos espacios y pilas desempeñan un papel central en la geometría algebraica, la teoría de Teichmüller y la teoría de las formas modulares .

Pilas de módulos de curvas estables

La pila de módulos ${\mathcal {M}}_{g}$ clasifica familias de curvas proyectivas suaves, junto con sus isomorfismos. Cuando $g>1$ Esta pila puede compactarse añadiendo nuevos puntos de "frontera" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si es completa, conexa, no tiene singularidades distintas de los puntos dobles y solo tiene un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ Ambos conjuntos de módulos contienen familias universales de curvas.

Ambas pilas de arriba tienen dimensión $3g-3$ ; por lo tanto, una curva nodal estable puede especificarse completamente eligiendo los valores de $3g-3$ parámetros, cuando $g>1$ . En género inferior, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Existe exactamente una clase de equivalencia de curvas complejas de género cero, a saber, la esfera de Riemann, y su grupo de automorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de ${\mathcal {M}}_{0}$ es igual a

{\begin{aligned}\dim({\text{espacio de curvas de género 0}})-\dim({\text{grupo de automorfismos}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}

Asimismo, en el género 1, existe un espacio unidimensional de curvas, pero cada una de estas curvas tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila ${\mathcal {M}}_{1}$ tiene dimensión 0.

Construcción e irreductibilidad

Es un teorema no trivial, demostrado por Pierre Deligne y David Mumford , ^{[ 1 ]} que establece que los módulos se apilan ${\mathcal {M}}_{g}$ es irreducible, lo que significa que no puede expresarse como la unión de dos subpilas propias. Lo demuestran analizando el lugar geométrico. $H_{g}$ de curvas estables en el esquema de Hilbert $\mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}$ de curvas incrustadas tricanónicamente (a partir de la incrustación de la muy amplia $\omega _ {C}^{\otimes 3}$ para cada curva) que tienen polinomio de Hilbert $P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$ . Luego, la pila $[H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]$ es una construcción del espacio de módulos ${\mathcal {M}}_{g}$ . Utilizando la teoría de la deformación , Deligne y Mumford muestran que esta pila es suave y utilizan la pila de isomorfismos entre curvas estables. $\mathrm {Isom} _ {S}(C,C')$ para demostrar que ${\mathcal {M}}_{g}$ tiene estabilizadores finitos, por lo tanto es una pila de Deligne-Mumford . Además, encuentran una estratificación de $H_{g}$ como

H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}

,

dónde $H_{g}^{o}$ es el subesquema de curvas suaves y estables y $H_{g,i}$ es un componente irreductible de $S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}$ Analizan los componentes de ${\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)$ (como cociente GIT ). Si existieran múltiples componentes de $H_{g}^{o}$ , ninguno de ellos estaría completo. Además, cualquier componente de $H_{g}$ debe contener curvas no singulares. En consecuencia, el lugar singular $S^{*}$ está conectado, por lo tanto está contenido en un solo componente de $H_{g}$ Además, porque cada componente se interseca $S^{*}$ , todos los componentes deben estar contenidos en un solo componente, de ahí el espacio grueso $H_{g}$ es irreducible. De la teoría general de pilas algebraicas, esto implica el cociente de pila ${\mathcal {M}}_{g}$ es irreductible.

Adecuación

La propiedad , o compacidad para orbifolds , se deduce de un teorema sobre reducción estable en curvas. ^{[ 1 ]} Esto se puede encontrar utilizando un teorema de Grothendieck sobre la reducción estable de variedades abelianas , y mostrando su equivalencia con la reducción estable de curvas. ^{[ 1 ]}^{sección 5.2}

Espacios de módulos gruesos

También se pueden considerar los espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos se estudiaron antes de que se introdujera la noción de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue introducida por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es, en realidad, el objeto más fundamental.

Los espacios de módulos gruesos tienen la misma dimensión que las pilas cuando $g>1$ Sin embargo, en el género cero el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno.

Ejemplos de espacios de módulos de género bajo

Género 0

Determinación de la geometría del espacio de módulos de género $0$ Las curvas se pueden establecer utilizando la teoría de la deformación . El número de módulos para un género $0$ curva, por ejemplo $\mathbb {P} ^{1}$ , viene dado por el grupo de cohomología

$H^{1}(C,T_{C})$

Con la dualidad de Serre, este grupo de cohomología es isomorfo a

${\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}$

para el haz dualizador $\omega _{C}$ . Pero, usando Riemann-Roch se muestra que el grado del fibrado canónico es $-2$ , por lo tanto el grado de $\omega _ {C}^{\otimes 2}$ es $-4$ , por lo tanto no hay secciones globales, lo que significa

$H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0$

mostrando que no hay deformaciones de género $0$ curvas. Esto demuestra ${\mathcal {M}}_{0}$ es solo un punto, y el único género $0$ Las curvas vienen dadas por $\mathbb {P} ^{1}$ . La única dificultad técnica es el grupo de automorfismos de $\mathbb {P} ^{1}$ es el grupo algebraico ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ , que rigidiza una vez tres puntos ^{[ 2 ]} en $\mathbb {P} ^{1}$ son fijos, por lo que la mayoría de los autores toman ${\mathcal {M}}_{0}$ significar ${\mathcal {M}}_{0,3}$ .

Género 1

El caso de género 1 es uno de los primeros casos bien comprendidos de espacios de módulos, al menos sobre los números complejos, porque las clases de isomorfismo de curvas elípticas se clasifican mediante el invariante J.

$j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$

dónde ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )$ Topológicamente, ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }$ es simplemente la línea afín, pero se puede compactar en una pila con espacio topológico subyacente. $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ agregando una curva estable en el infinito. Esta es una curva elíptica con una sola cúspide. La construcción del caso general sobre ${\text{Especificación}}(\mathbb {Z} )$ fue completada originalmente por Deligne y Rapoport . ^{[ 3 ]}

Nótese que la mayoría de los autores consideran el caso de curvas de género uno con un punto marcado como el origen del grupo, ya que de lo contrario el grupo estabilizador en un hipotético espacio de módulos ${\mathcal {M}}_{1}$ tendría un grupo estabilizador en el punto $[C]\in {\mathcal {M}}_{1}$ dado por la curva, ya que las curvas elípticas tienen una estructura de grupo abeliano. Esto añade una complejidad técnica innecesaria a este hipotético espacio de módulos. Por otro lado, ${\mathcal {M}}_{1,1}$ es una pila Deligne-Mumford suave .

Género 2

espacio de parámetros afines

En el género 2 es un resultado clásico que todas esas curvas son hiperelípticas , ^{[ 4 ]}^{pág. 298} por lo que el espacio de módulos se puede determinar completamente a partir del lugar geométrico de ramificación de la curva usando la fórmula de Riemann-Hurwitz . Dado que una curva arbitraria de género 2 está dada por un polinomio de la forma

y^{2}-x(x-1)(xa)(xb)(xc)

para algunos definidos de forma única $a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}$ , el espacio de parámetros para dichas curvas viene dado por

\mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),

dónde $\Delta _{i,j}$ corresponde al locus $i\neq j$ . ^{[ 5 ]}

Espacio proyectivo ponderado

Utilizando un espacio proyectivo ponderado y la fórmula de Riemann-Hurwitz , una curva hiperelíptica puede describirse como un polinomio de la forma ^{[ 6 ].}

z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},

dónde $a,\ldots ,f$ son parámetros para secciones de $\Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))$ Entonces, el lugar geométrico de las secciones que no contienen ninguna raíz triple contiene todas las curvas. $C$ representado por un punto $[C]\in {\mathcal {M}}_{2}$ .

Género 3

Este es el primer espacio de módulos de curvas que tiene tanto un lugar hiperelíptico como un lugar no hiperelíptico. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Las curvas no hiperelípticas están todas dadas por curvas planas de grado 4 (usando la fórmula del grado del género ), que están parametrizadas por el lugar suave en el esquema de Hilbert de hipersuperficies

\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}

.

Luego, el espacio de módulos se estratifica mediante las subpilas.

{\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }

.

Geometría birracional

Conjetura de uniracionalidad

En todos los casos anteriores, se puede encontrar que los espacios de módulos son uniracionales , lo que significa que existe un morfismo racional dominante.

$\mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}$

y se esperaba desde hace mucho tiempo que esto fuera cierto en todos los géneros. De hecho, Severi había demostrado que esto era cierto para los géneros hasta $10$ . ^{[ 9 ]} Aunque, resulta que para el género $g\geq 23$ ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Todos estos espacios de módulos son de tipo general, lo que significa que no son uniracionales. Lograron esto estudiando ladimensión de Kodairade los espacios de módulos gruesos.

\kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),

y encontró $\kappa _{g}>0$ para $g\geq 23$ . De hecho, para $g>23$ ,

\kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),

y por lo tanto ${\mathcal {M}}_{g}$ es de tipo general.

Implicación geométrica

Esto es significativo geométricamente porque implica que cualquier sistema lineal en una variedad reglada no puede contener la curva universal. ${\mathcal {C}}_{g}$ . ^{[ 13 ]}

Estratificación del límite

El espacio de módulos ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ presenta una estratificación natural en el límite $\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ cuyos puntos representan géneros singulares $g$ curvas. ^{[ 14 ]} Se descompone en estratos

\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}

,

dónde

$\Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}$ para $1\leq h<g/2$ .
$\Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)$ donde la acción permuta los dos puntos marcados.
$\Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)$ cuando sea $g$ es par.

Las curvas que se encuentran por encima de estos lugares corresponden a

Un par de curvas $C,C'$ conectados en un punto doble.
La normalización de un género $g$ curva en una singularidad de punto doble único.
Un par de curvas del mismo género conectadas en un punto doble salvo permutación.

Estratificación para el género 2

Para el género $2$ caso, hay una estratificación dada por

{\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}

.

Un análisis más detallado de estos estratos puede utilizarse para determinar los generadores del anillo de Chow. $A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})$ ^{[ 14 ]}^{proposición 9.1}.

Módulos de curvas marcadas

También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados, distintos entre sí y distintos de los nodos. Se dice que dichas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curvas que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas suaves (o estables) de género g con n puntos marcados se denotan ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (o ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ), y tienen dimensión $3g-3+n$ .

Un caso de particular interés es la pila de módulos. ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ de curvas de género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas . Las formas modulares de nivel 1 son secciones de haces de líneas en esta pila, y las formas modulares de nivel N son secciones de haces de líneas en la pila de curvas elípticas con estructura de nivel N (aproximadamente una marcación de los puntos de orden N ).

Geometría de contorno

Una propiedad importante de los espacios de módulos compactados ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ es que su límite puede describirse en términos de espacios de módulos ${\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}$ para géneros $g'<g$ Dada una curva nodal estable y marcada, se puede asociar su grafo dual , un grafo con vértices etiquetados por enteros no negativos y que puede tener bucles, aristas múltiples y también medias aristas numeradas. Aquí, los vértices del grafo corresponden a componentes irreducibles de la curva nodal, la etiqueta de un vértice es el género aritmético de la componente correspondiente, las aristas corresponden a los nodos de la curva y las medias aristas corresponden a las marcas. El cierre del lugar geométrico de curvas con un grafo dual dado en ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ es isomorfo al cociente de pila de un producto $\prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}$ de espacios de módulos compactificados de curvas por un grupo finito. En el producto, el factor correspondiente a un vértice v tiene género g _v tomado del etiquetado y número de marcas. $n_{v}$ igual al número de aristas salientes y semi-aristas en v . El género total g es la suma de g _v más el número de ciclos cerrados en el grafo.

Curvas estables cuyo gráfico dual contiene un vértice etiquetado por $g_{v}=g$ (por lo tanto, todos los demás vértices tienen $g_{v}=0$ y el gráfico es un árbol) se denominan "cola racional" y su espacio de módulos se denota ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }$ Las curvas estables cuyo grafo dual es un árbol se denominan de "tipo compacto" (porque el jacobiano es compacto) y su espacio de módulos se denota ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }$ . ^{[ 2 ]}

Véase también

Referencias

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Referencias clásicas

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Enlaces externos

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