Haz en una pila algebraica

En geometría algebraica , un haz cuasi-coherente en una pila algebraica${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$es una generalización de un haz cuasi-coherente en un esquema . La descripción más concreta es que es un dato que consiste, para cada uno, en un esquema S en la categoría base y${\displaystyle \xi }$en${\displaystyle {\mathfrak {X}}(S)}$, un haz cuasi coherente${\displaystyle F_{\xi }}$en S junto con mapas que implementan las condiciones de compatibilidad entre${\displaystyle F_{\xi }}$'s.

Para una pila Deligne-Mumford , existe una descripción más sencilla en términos de presentación.${\displaystyle U\to {\mathfrak {X}}}$: un haz cuasi-coherente en${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$es uno que se obtiene descendiendo un haz cuasi-coherente en U. ^{[ 1} ] Un haz cuasi-coherente en una pila ^de Deligne-Mumford generaliza un orbifijo (en cierto sentido).

Los haces construibles (por ejemplo, como haces ℓ-ádicos ) también se pueden definir en una pila algebraica y aparecen como coeficientes de cohomología de una pila .

La siguiente definición es ( Arbarello, Cornalba & Griffiths 2011 , Capítulo XIII., Definición 2.1.)

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$Sea una categoría fibrada en grupoides sobre la categoría de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo con el functor de estructura p . Entonces un haz cuasi-coherente en${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$son los datos que consisten en:

1. para cada objeto${\displaystyle \xi }$, un haz cuasi coherente${\displaystyle F_{\xi }}$en el plan${\displaystyle p(\xi )}$,
2. para cada morfismo${\displaystyle H:\xi \to \eta }$en${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$y${\displaystyle h=p(H):p(\xi )\to p(\eta )}$en la categoría base, un isomorfismo

   ${\displaystyle \rho _{H}:h^{*}(F_{\eta }){\overset {\simeq }{\to }}F_{\xi }}$

que satisfacen la condición de cociclo: para cada par${\displaystyle H_{1}:\xi _{1}\to \xi _{2},H_{2}:\xi _{2}\to \xi _{3}}$,

${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {h_{1}^{*}(\rho _{H_{2}})}{\to }}h_{1}^{*}F_{\xi _{2}}{\overset {\rho _{H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$igual${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\sim }{=}}(h_{2}\circ h_{1})^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\rho _{H_{2}\circ H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$.

(cf. haz equivariante .)

• El fibrado de Hodge sobre la pila de módulos de curvas algebraicas de género fijo.

El formalismo ℓ-ádico (teoría de haces ℓ-ádicos) se extiende a pilas algebraicas.

• Álgebroide de Hopf : codifica los datos de haces cuasi-coherentes en un preapilamiento presentable como un grupoide interno a los esquemas afines (o esquemas proyectivos que utilizan álgebroides de Hopf graduados).

• https://mathoverflow.net/questions/69035/the-category-of-l-adic-sheaves
• http://math.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/Notes/L16.pdf Formalismo ádico, parte 2 Brian Lawrence 1 de marzo de 2017