Categoría de elementos

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, la categoría de elementos de un prehaz es una categoría asociada a dicho prehaz cuyos objetos son los elementos de los conjuntos que lo componen. Tanto esta como su generalización se conocen como la construcción de Grothendieck (en honor a Alexander Grothendieck ), especialmente en la teoría de la descendencia , en la teoría de pilas y en la teoría de categorías fibradas . ^{[ 1 ]}

La construcción de Grothendieck es un ejemplo de enderezamiento (o más bien de desenderezamiento).

En lógica categórica , la construcción se utiliza para modelar la relación entre una teoría de tipos y una lógica sobre esa teoría de tipos, y permite la traducción de conceptos de la teoría de categorías indexadas a la teoría de categorías fibradas, como el concepto de hiperdoctrina de Lawvere .

La categoría de elementos de un conjunto simplicial es fundamental en la teoría de la homotopía simplicial , una rama de la topología algebraica . De forma más general, la categoría de elementos desempeña un papel clave en la demostración de que todo colímite ponderado puede expresarse como un colímite ordinario, lo cual es necesario para los resultados básicos de la teoría de las extensiones de Kan izquierdas puntuales y para la caracterización de la categoría de prefaisceatos como la cocompletación libre de una categoría. Véase también el teorema de densidad (teoría de categorías) para un ejemplo de uso.

Si${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$es una familia de conjuntos indexados por otro conjunto, se puede formar la unión disjunta o coproducto

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$,

que es el conjunto de todos los pares ordenados${\displaystyle (i,a)}$de tal manera que${\displaystyle a\in A_{i}}$El conjunto de unión disjunta está equipado naturalmente con un mapa de "proyección".

${\displaystyle \pi$ :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I,\,\pi (i,a)=i.}

Desde la proyección${\displaystyle \pi }$Es posible reconstruir la familia original de conjuntos.${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$hasta una biyección canónica, como para cada${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$mediante la biyección${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$. En este contexto, para${\displaystyle i\in I}$, la preimagen${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$del conjunto unitario${\displaystyle \{i\}}$se llama la "fibra" de${\displaystyle \pi }$encima${\displaystyle i}$y cualquier conjunto${\displaystyle B}$equipado con una selección de funciones${\displaystyle f:B\to I}$Se dice que está "fibrado" sobre${\displaystyle I}$De esta manera, la construcción de unión disjunta proporciona una forma de ver cualquier familia de conjuntos indexada por${\displaystyle I}$como un conjunto "fibrado" sobre${\displaystyle I}$y, a la inversa, para cualquier conjunto${\displaystyle f:B\to I}$fibrado sobre${\displaystyle I}$, podemos verlo como la unión disjunta de las fibras de${\displaystyle f}$Jacobs se ha referido a estas dos perspectivas como "indexación de visualización" e "indexación puntual". ^{[ 2 ]}

La construcción de Grothendieck generaliza esto a categorías. Para cada categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y cada familia de categorías${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$indexado por los objetos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$De manera funtorial, la construcción de Grothendieck devuelve una nueva categoría.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$fibrado sobre${\displaystyle {\mathcal {C}}}$mediante un functor${\displaystyle \pi }$cuyas fibras son las categorías${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$.

Dejar${\displaystyle C}$ser una categoría y dejar${\displaystyle F:C^{\rm {op}}\to \mathbf {Sets} }$Sea un functor multivaluado . La categoría el( F ) de elementos de F (también denotada ∫ _C F ) es la categoría cuya:

• Los objetos son pares.${\displaystyle (A,a)}$dónde${\displaystyle A\in \mathop {\rm {Ob}} (C)}$y${\displaystyle a\in FA}$.
• Morfismos${\displaystyle (A,a)\to (B,b)}$son flechas${\displaystyle f:A\to B}$de${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle (Ff)b=a}$.

Una definición equivalente es que la categoría de elementos de${\displaystyle F}$es la categoría de coma${\displaystyle (\ast \downarrow F)^{\rm {op}}}$, donde ∗ es un conjunto unitario (un conjunto con un solo elemento).

La categoría de elementos de F está equipada naturalmente con un functor de proyección Π : ∫ _C F → C que envía un objeto ( A , a ) a A , y una flecha ( A , a )→( B , b ) a su flecha subyacente en C .

Para C pequeño , esta construcción se puede extender a un functor ∫ _C de Ĉ a Cat , la categoría de categorías pequeñas . Usando el lema de Yoneda se puede demostrar que ∫ _C P ≅ y ↓ P , donde y : C → Ĉ es la incrustación de Yoneda. Este isomorfismo es natural en P y por lo tanto el functor ∫ _C es naturalmente isomorfo a y ↓ – : Ĉ → Cat .

Para algunas aplicaciones, es importante generalizar la construcción incluso a un pseudofunctor contravariante.${\displaystyle F}$(el caso covariante es similar). Es decir, dado${\displaystyle F}$, definir la categoría${\displaystyle C_{F}}$, dónde

• un objeto es un par${\displaystyle (x,a)}$que consiste en un objeto${\displaystyle x}$en${\displaystyle C}$y un objeto${\displaystyle a}$en${\displaystyle F(x)}$,
• un morfismo${\displaystyle {\overline {f}}:(x,a)\to (y,b)}$consta de${\displaystyle f:x\to y}$en${\displaystyle C}$y${\displaystyle \varphi$ :(Ff)b\to a} en${\displaystyle F(x)}$,
• la composición de${\displaystyle {\overline {f}}}$arriba y${\displaystyle {\overline {g}}=(g,\psi ):(y,b)\to (z,c)}$consta de${\displaystyle g\circ f}$y${\displaystyle \varphi \circ (Ff)\psi }$; es decir,

${\displaystyle F(g\circ f)c\simeq (Ff\circ Fg)c{\overset {(Ff)\psi }{\to }}(Ff)b{\overset {\varphi }{\to }}a.}$^{[ 3 ]}

Quizás sea psicológicamente útil pensar en${\displaystyle Ff}$a medida que el retroceso a lo largo${\displaystyle f}$(es decir,${\displaystyle Ff=f^{*}}$) y luego${\displaystyle (Ff)b}$es el retroceso de${\displaystyle b}$a lo largo de${\displaystyle f}$.

Nótese aquí que la asociatividad de la composición es consecuencia del hecho de que los isomorfismos${\displaystyle F(g\circ f)\simeq Ff\circ Fg}$son coherentes .

Dejar${\displaystyle \pi :C_{F}\to C}$sea ​​el functor olvidadizo y la categoría asociada a un pseudofunctor contravariante.${\displaystyle F}$en${\displaystyle C}$por la construcción de Grothendieck. Una propiedad clave es que${\displaystyle \pi }$es una fibración cartesiana (o que${\displaystyle C_{F}}$es una categoría fibrosa sobre${\displaystyle C}$), lo que significa cada morfismo${\displaystyle f:x\to y}$en${\displaystyle C}$con objetivo${\displaystyle y=\pi ((y,b))}$eleva a un morfismo cartesiano${\displaystyle {\overline {f}}}$con objetivo${\displaystyle {\overline {y}}=(y,b)}$. ^{[ 3 ]} De hecho, simplemente dejamos${\displaystyle {\overline {x}}=(x,a),\,a=(Ff)(b)}$y${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\operatorname {id} _{a}).}$La propiedad de elevación requerida se cumple entonces de forma trivial.

A continuación, si${\displaystyle \mu :F\to G}$es una transformación natural (entre pseudofuntores contravariantes), entonces${\displaystyle \mu }$induce un functor

${\displaystyle \mu :C_{F}\to C_{G}}$

que envía morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. De hecho, para los objetos, dejamos${\displaystyle \mu ((x,a))=(x,\mu (a))}$a través de${\displaystyle \mu :F(x)\to G(x)}$. En cuanto a un morfismo${\displaystyle {\overline {f}}=(f,(Ff)b\,{\overset {\varphi }{\to }}\,a):{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$, dejamos${\displaystyle \mu ({\overline {f}})=(f,\mu (\varphi ))}$dónde${\displaystyle \mu (\varphi ):\mu (Ff)b=(Gf)\mu (b)\to \mu (a)}$Ahora bien, si${\displaystyle f':x'\to {\overline {y}}}$es un morfismo cartesiano arbitrario, entonces dado que${\displaystyle x',{\overline {x}}}$son isomorfos, vemos que${\displaystyle \varphi _{f'}}$es invertible y por lo tanto${\displaystyle \mu (\varphi _{f'})}$es invertible. De ello se deduce que${\displaystyle \mu (f')}$posee la propiedad de elevación requerida para ser un morfismo cartesiano, completando así la prueba de la afirmación.

Utilizando el lenguaje de las ∞-categorías , la construcción de Grothendieck se puede enunciar de la siguiente manera concisa. Es decir, dice que existe una equivalencia de ∞-categorías:

${\displaystyle {\textrm {Fct}}(C^{op},{\textrm {Cat}})\to {\textrm {Cart}}(C)}$

entre la categoría de funtores y la (2, 1)-categoría de fibraciones cartesianas (o categorías fibradas) sobre${\displaystyle C}$. ^{[ 7 ]} Además, la equivalencia se da enviando el pseudofunctor${\displaystyle F:C^{op}\to {\textrm {Cat}}}$a la categoría${\displaystyle C_{F}}$de pares para${\displaystyle F}$(ver arriba) y en la dirección opuesta tomando fibras; es decir,${\displaystyle \pi }$se asigna al pseudofunctor${\displaystyle X\mapsto \pi ^{-1}(X)}$.

En más detalle, dada una fibración cartesiana${\displaystyle \pi }$, define el pseudofunctor contravariante${\displaystyle F}$de la siguiente manera. ^{[ 8 ]} Para un objeto${\displaystyle x}$,${\displaystyle F(x)=\pi ^{-1}(x)}$. A continuación, dado que${\displaystyle \pi }$es una fibración cartesiana, para cada morfismo${\displaystyle f:x\to y}$y cada objeto${\displaystyle {\overline {y}}}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$, hay un objeto${\displaystyle {\overline {x}}}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$así como un morfismo cartesiano${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {x}}\to {\overline {y}}}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(f)}$. Por el axioma de elección , para cada${\displaystyle {\overline {y}}}$, por lo tanto elegimos${\displaystyle (Ff){\overline {y}}}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$así como un morfismo cartesiano${\displaystyle {\overline {f}}_{\overline {y}}:(Ff){\overline {y}}\to {\overline {y}}}$Para simplificar la notación, dejaremos${\displaystyle f^{*}=Ff}$. Ahora hacemos

${\displaystyle f^{*}:\pi ^{-1}(y)\to \pi ^{-1}(x)}$

un functor; es decir, también envía morfismos. Si${\displaystyle \alpha$ :{\overline {y}}_{1}\to {\overline {y}}_{2}} es un morfismo en${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$, desde${\displaystyle {\overline {f}}:f^{*}{\overline {y}}_{2}\to {\overline {y}}_{2}}$es cartesiano, hay un morfismo único${\displaystyle f^{*}{\overline {y}}_{1}\to f^{*}{\overline {y}}_{2}}$, que denotamos por${\displaystyle f^{*}\alpha }$, de tal manera que${\displaystyle \alpha \circ {\overline {f}}_{{\overline {y}}_{1}}={\overline {f}}_{{\overline {y}}_{2}}\circ f^{*}\alpha }$Por la singularidad de las opciones, tenemos${\displaystyle f^{*}(\alpha \circ \beta )=f^{*}\alpha \circ f^{*}\beta }$. De este modo,${\displaystyle Ff=f^{*}}$es un functor. Por lo tanto,${\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Cat}}}$está definido. Finalmente, mostramos${\displaystyle F}$es un pseudofunctor contravariante. En términos generales, esto se debe a que, aunque hicimos una elección usando el axioma de elección, las diferentes elecciones difieren por isomorfismos únicos. En consecuencia, los isomorfismos${\displaystyle F(g\circ f)\simeq (Fg)(Ff)}$será coherente .

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª  ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Haces en geometría y lógica . Universitext (  ed. corregida). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.
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• Categoría de elementos en el Laboratorio n
• Construcción Grothendieck en el Laboratorio n
• https://mathoverflow.net/questions/322763/why-is-the-straightening-functor-the-analogue-of-the-grothendieck-construction
• Dai Tamaki. La construcción de Grothendieck y las graduaciones para categorías enriquecidas. arXiv: 0907.0061.
• http://pantodon.jp/index.rb?body=Grothendieck_construction#cite.0_0907.0061 en japonés
• https://mathoverflow.net/questions/153941/thomason-s-homotopy-colimit-theorem-for-pseudo-functor