functor Hom

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , los conjuntos hom (es decir, conjuntos de morfismos entre objetos ) dan lugar a functores importantes para la categoría de conjuntos . Estos functores se denominan functores hom y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras ramas de las matemáticas.

Sea C una categoría localmente pequeña (es decir, una categoría para la cual las clases hom son en realidad conjuntos y no clases propias ).

Para todos los objetos A y B en C definimos dos functores a la categoría de conjuntos de la siguiente manera:

El functor Hom( – , B ) también se denomina functor de puntos del objeto B .

Cabe destacar que fijar el primer argumento de Hom da lugar naturalmente a un functor covariante, y fijar el segundo argumento da lugar naturalmente a un functor contravariante. Esto es consecuencia de la forma en que se deben componer los morfismos.

El par de functores Hom( A , – ) y Hom( – , B ) están relacionados de manera natural . Para cualquier par de morfismos f  : B → B ′ y h  : A ′ → A, el siguiente diagrama conmuta :

Ambos caminos envían g  : A → B a f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′. 

La conmutatividad del diagrama anterior implica que Hom( – , – ) es un bifunctor de C × C a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. Equivalentemente, podemos decir que Hom( – , – ) es un bifunctor

Hom( – , – )  : C ^op × C → Establecer

donde C ^op es la categoría opuesta a C. La notación Hom _C ( – , – ) se usa a veces para Hom( – , – ) con el fin de enfatizar la categoría que forma el dominio.

Haciendo referencia al diagrama conmutativo anterior, se observa que cada morfismo

h  : A ′ → A

da lugar a una transformación natural

Hom( h , – )  : Hom( A , – ) → Hom( A ′ , – )

y cada morfismo

f  : B → B ′

da lugar a una transformación natural

Hom( – , f )  : Hom( – , B ) → Hom( – , B ′ )

El lema de Yoneda implica que toda transformación natural entre functores Hom es de esta forma. En otras palabras, los functores Hom dan lugar a una incrustación completa y fiel de la categoría C en la categoría de functores Set ^{C op} (covariante o contravariante según el functor Hom que se utilice).

Algunas categorías pueden poseer un functor que se comporta como un functor Hom, pero toma valores en la categoría C misma, en lugar de Set . Dicho functor se denomina functor Hom interno y a menudo se escribe como

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

para enfatizar su naturaleza de producto, o como

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

para enfatizar su naturaleza funtorial, o a veces simplemente en minúsculas:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$Para ver ejemplos, consulte la categoría de relaciones .

Las categorías que poseen un functor Hom interno se denominan categorías cerradas . Se tiene que

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$,

donde I es el objeto unitario de la categoría cerrada. Para el caso de una categoría monoidal cerrada , esto se extiende a la noción de currificación , es decir, que

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

dónde${\displaystyle \otimes }$es un bifunctor , el functor de producto interno que define una categoría monoidal . El isomorfismo es natural tanto en X como en Z. En otras palabras, en una categoría monoidal cerrada, el functor Hom interno es un functor adjunto al functor de producto interno. El objeto${\displaystyle Y\flecha derecha Z}$se llama el Hom interno . Cuando${\displaystyle \otimes }$es el producto cartesiano${\displaystyle \times }$, el objeto${\displaystyle Y\flecha derecha Z}$se llama objeto exponencial y a menudo se escribe como${\displaystyle Z^{Y}}$.

Los Homs internos, al combinarse, forman un lenguaje, llamado lenguaje interno de la categoría. Los más famosos son el cálculo lambda tipado , que es el lenguaje interno de las categorías cartesianas cerradas , y el sistema de tipos lineal , que es el lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas .

Nótese que un functor de la forma

Hom( – , A )  : C ^op → Set

es un prehaz ; asimismo, Hom( A , – ) es un cohaz .

Un functor F  : C → Set que es naturalmente isomorfo a Hom( A , – ) para algún A en C se llama functor representable (o copreshaz representable); de igual modo, un functor contravariante equivalente a Hom( – , A ) podría llamarse corepresentable.

Nótese que Hom( – , – )  : C ^op × C → Set es un profunctor y, específicamente, es el profunctor identidad.${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$.

El functor interno hom preserva los límites ; es decir,${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$envía límites a límites, mientras${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$envía límites en${\displaystyle C^{\text{op}}}$, es decir, colímites en${\displaystyle C}$, en límites. En cierto sentido, esto puede tomarse como la definición de un límite o colímite.

Al endofunctor Hom( E , – )  : Set → Set se le puede dar la estructura de una mónada ; esta mónada se llama mónada de entorno (o lectora) .

Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces Hom _A ( A , – ) es un functor covariante exacto por la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . Es exacto si y solo si A es proyectivo . ^{[ 2 ]}

Sea R un anillo y M un R - módulo izquierdo . El functor Hom _R ( M , – ): Mod - R → Ab es adjunto al functor de producto tensorial –${\displaystyle \otimes }$_R M : Ab → Mod - R .

• functor Ext
• Categoría de functor
• functor representable

• Functor Hom en el Laboratorio n
• Inicio interno en el laboratorio n