Categoría cerrada

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría cerrada es un tipo especial de categoría .

En una categoría localmente pequeña , el hom externo ( x , y ) asigna un par de objetos a un conjunto de morfismos . Así, en la categoría de conjuntos , este es un objeto de la propia categoría. De igual modo, en una categoría cerrada, los morfismos (objeto de) de un objeto a otro pueden considerarse dentro de la categoría. Este es el hom interno [ x , y ].

Toda categoría cerrada tiene un functor de olvido a la categoría de conjuntos, que en particular transforma el hom interno en el hom externo.

Una categoría cerrada puede definirse como una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$con un llamado functor Hom interno

${\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

con flechas de Yoneda izquierda

${\displaystyle L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]}$

natural en${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$y antinatural en${\displaystyle A}$y un objeto fijo${\displaystyle I}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$con un isomorfismo natural

${\displaystyle i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]}$

y una transformación antinatural

${\displaystyle j_{A}:I\to \left[A\ A\right]}$,

todas ellas satisfaciendo ciertas condiciones de coherencia.

• Las categorías cartesianas cerradas son categorías cerradas. En particular, cualquier topos elemental es cerrado. El ejemplo canónico es la categoría de conjuntos.
• Las categorías cerradas compactas son categorías cerradas. El ejemplo canónico es la categoría FdVect , cuyos objetos son espacios vectoriales de dimensión finita y cuyos morfismos son aplicaciones lineales .
• En términos más generales, cualquier categoría cerrada monoidal es una categoría cerrada. En este caso, el objeto${\displaystyle I}$es la unidad monoide .

• Eilenberg, S.; Kelly , GM (2012) [1966]. "Categorías cerradas" . Actas de la Conferencia sobre Álgebra Categórica. (La Jolla, 1965 ). Springer. págs. 421–562 . doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_22 . ISBN  978-3-642-99902-4.
• Categoría cerrada en el Laboratorio n