Profunctor

Una definición equivalente de un profunctor${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$es una categoría cuyos objetos son la unión disjunta de los objetos de${\displaystyle C}$y los objetos de${\displaystyle D}$y cuyos morfismos son los morfismos de${\displaystyle C}$y los morfismos de${\displaystyle D}$, más cero o más morfismos adicionales de objetos de${\displaystyle D}$a objetos de${\displaystyle C}$. Los conjuntos en la definición formal anterior son los conjuntos hom entre objetos de${\displaystyle D}$y objetos de${\displaystyle C}$(Estos también se conocen como conjuntos heterogéneos, ya que los morfismos correspondientes pueden llamarse heteromorfismos ). La definición anterior se puede recuperar mediante la restricción del functor hom.${\displaystyle \phi ^{\text{op}}\times \phi \to \mathbf {Set} }$a${\displaystyle D^{\text{op}}\times C}$.

Esto también deja claro que un profunctor puede pensarse como una relación entre los objetos de${\displaystyle C}$y los objetos de${\displaystyle D}$donde cada miembro de la relación está asociado con un conjunto de morfismos. Un functor es un caso especial de un profunctor, del mismo modo que una función es un caso especial de una relación.

El compuesto${\displaystyle \psi \phi }$de dos profunctores

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$y${\displaystyle \psi :D\nrightarrow E}$

es dado por

${\displaystyle \psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}}$

dónde${\displaystyle \mathrm {Lan} _ {Y_{D}}({\hat {\psi }})}$es la extensión Kan izquierda del functor${\displaystyle {\sombrero {\psi }}}$a lo largo del functor de Yoneda${\displaystyle Y_{D}:D\to {\hat {D}}}$de${\displaystyle D}$(que a cada objeto${\displaystyle d}$de${\displaystyle D}$asocia el functor${\displaystyle D(-,d):D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Establecer} }$).

Se puede demostrar que

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim }$

dónde${\displaystyle \sim }$es la menor relación de equivalencia tal que${\displaystyle (y',x')\sim (y,x)}$siempre que exista un morfismo${\displaystyle v}$en${\displaystyle D}$de tal manera que

${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ y ${\displaystyle x'v=x\in \phi (d,c)}$.

De forma equivalente, la composición de profunctores se puede escribir utilizando un coend

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)}$

La composición de profuntores es asociativa solo hasta isomorfismo (porque el producto no es estrictamente asociativo en Set ). Por lo tanto, lo mejor que se puede esperar es construir una bicategoría Prof cuyo

• Las celdas 0 son categorías pequeñas ,
• Las 1-celdas entre dos categorías pequeñas son los profuntores entre esas categorías,
• Las transformaciones de 2 células entre dos profunctores son las transformaciones naturales entre esos profunctores.

Un functor${\displaystyle F:C\to D}$puede ser visto como un profunctor${\displaystyle \phi _{F}:C\nrightarrow D}$mediante la postcomposición con el functor de Yoneda:

${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$.

Se puede demostrar que tal profunctor${\displaystyle \phi _{F}}$tiene un adjunto derecho . Además, esta es una caracterización: un profunctor.${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$tiene un adjunto derecho si y solo si${\displaystyle {\sombrero {\phi }}:C\to {\sombrero {D}}}$factores a través de la finalización de Cauchy de${\displaystyle D}$, es decir, existe un functor${\displaystyle F:C\to D}$de tal manera que${\displaystyle {\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F}$.