Functor representado por un esquema

En geometría algebraica , un functor representado por un esquema X es un functor contravariante multivaluado en la categoría de esquemas tal que el valor del functor en cada esquema S es (salvo biyecciones naturales o correspondencia biyectiva) el conjunto de todos los morfismos. $S\to X$ Se dice entonces que el functor F es naturalmente equivalente al functor de puntos de X ; ^y se dice que el esquema X representa el functor F y clasifica los objetos geométricos sobre S dados por F. ^[¹ ]

Un functor que produce ciertos objetos geométricos sobre S puede representarse mediante un esquema X. Por ejemplo, el functor que transforma S en el conjunto de todos los haces de líneas sobre S (o más precisamente sistemas lineales n- dimensionales ) está representado por el espacio proyectivo. $X=\mathbb {P} ^{n-1}$ Otro ejemplo es el esquema de Hilbert X de un esquema Y , que representa el functor que envía un esquema S al conjunto de subesquemas cerrados de $Y\times S$ que son familias planas sobre S . ^{[ 2 ]}

En algunas aplicaciones, puede resultar imposible encontrar un esquema que represente un funtor dado. Esto dio lugar al concepto de pila , que si bien no es exactamente un funtor , puede tratarse como si fuera un espacio geométrico. (Un esquema de Hilbert es un esquema, no una pila, porque, en términos generales, la teoría de deformaciones es más sencilla para esquemas cerrados).

Algunos problemas de módulos se resuelven mediante soluciones formales (a diferencia de las soluciones algebraicas polinomiales) y, en ese caso, el functor resultante se representa mediante un esquema formal . Dicho esquema formal se denomina algebraizable si existe un esquema que puede representar el mismo functor, salvo algunos isomorfismos.

Motivación

Esta noción es análoga a un espacio clasificador en topología algebraica , donde cada fibrado principal G sobre un espacio S es (salvo isomorfismos naturales ) el producto inverso del fibrado universal. $EG\to BG$ a lo largo de algún mapa $S\to BG$ Dar un fibrado G principal sobre S es lo mismo que dar una aplicación (llamada aplicación clasificadora) de S al espacio clasificador . $BG$ .

Un fenómeno similar en geometría algebraica viene dado por un sistema lineal : dar un morfismo de una variedad base S a un espacio proyectivo. $X=\mathbb {P} ^{n}$ es equivalente a dar un sistema lineal sin punto base (o equivalentemente un fibrado de líneas) en S. Es decir, el espacio proyectivo X representa el functor que da todos los fibrados de líneas sobre S.

El lema de Yoneda dice que un esquema X determina y es determinado por su functor de puntos. ^{[ 3 ]}

Functor de puntos

Sea X un esquema . Su functor de puntos es el functor.

Hom(−, X ) : (Esquemas afines) ^op ⟶ Conjuntos

enviar un esquema afín Y al conjunto de mapas de esquemas $Y\to X$ . ^{[ 4 ]}

Un esquema está determinado salvo isomorfismo por su functor de puntos. Esta es una versión más fuerte del lema de Yoneda , que dice que un X está determinado por la aplicación Hom(−, X ) : Esquemas ^op → Conjuntos.

Por el contrario, un functor F : (Affine schemes) ^op → Sets es el functor de puntos de algún esquema si y solo si F es un haz con respecto a la topología de Zariski en (Affine schemes), y F admite una cubierta abierta por esquemas afines. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Ejemplos

Puntos como personajes

Sea X un esquema sobre el anillo base B. Si x es un punto conjuntista de X , entonces el cuerpo residual $k(x)$ es el campo residual del anillo local ${\mathcal {O}}_{X,x}$ (es decir, el cociente por el ideal máximo). Por ejemplo, si X es un esquema afín Spec( A ) y x es un ideal primo ${\mathfrak {p}}$ , entonces el campo residual de x es el campo de funciones del subesquema cerrado $\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})$ .

Para simplificar, supongamos que $X=\operatorname {Spec} (A)$ Entonces, la inclusión de un punto conjuntista x en X corresponde al homomorfismo de anillos:

A\to k(x)

(que es $A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ si $x={\mathfrak {p}}$ .)

Lo anterior debe compararse con el espectro de un álgebra de Banach conmutativa .

Puntos como secciones

Por la propiedad universal del producto fibrado , cada R -punto de un esquema X determina un morfismo de R -esquemas.

\operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)

;

es decir, una sección de la proyección $X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)$ . Si S es un subconjunto de X ( R ), entonces se escribe $|S|\subset X_{R}$ para el conjunto de imágenes de las secciones determinadas por elementos en S . ^{[ 7 ]}

Especificación del anillo de números duales

Dejar $D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))$ , la especificación del anillo de números duales sobre un cuerpo k y X un esquema sobre k . Entonces cada $D\to X$ equivale al vector tangente a X en el punto que es la imagen del punto cerrado del mapa. ^{[ 1 ]} En otras palabras, $X(D)$ es el conjunto de vectores tangentes a X.

Objeto universal

Dejar $F$ sea el functor representado por un esquema $X$ Bajo el isomorfismo $F(X)\cong {\text{Hom}}(X,X)$ , hay un elemento único de $F(X)$ que corresponde al mapa identidad ${\text{id}}_{X}:X\to X$ Este elemento único se conoce como objeto universal o familia universal (cuando los objetos que se clasifican son familias). El objeto universal actúa como una plantilla a partir de la cual todos los demás elementos en $F(S)$ para cualquier plan $S$ puede derivarse mediante retroceso a lo largo de un morfismo desde $S$ a $X$ . ^{[ 1 ]}

Véase también

Notas

^ Shafarevich 1994 , cap. VI § 4.1.
↑ Shafarevich 1994 , cap. VI § 4.4.
↑ De hecho, X está determinado por sus R puntos con varios anillos R : en términos precisos, dados los esquemas X , Y , cualquier transformación natural del functor $R\mapsto X(R)$ al functor $R\mapsto Y(R)$ determina un morfismo de esquemas X → Y de forma natural.
↑ El proyecto Stacks, 01J5
↑ El functor de puntos, el lema de Yoneda, espacios de módulos y propiedades universales (Brian Osserman), Cor. 3.6
↑ Esquemas y sus functores de puntos (Alexander Lai de Oliveira), Teorema 1
↑ Esto parece una notación estándar; véase, por ejemplo, Lurie, Jacob. "Dualidad de Poincaré nonabeliana en geometría algebraica (Clase 9)" (PDF) .

Referencias

David Mumford (1999). El Libro Rojo de Variedades y Esquemas: Incluye las Conferencias de Michigan (1974) sobre Curvas y sus Jacobianos . Notas de Conferencia en Matemáticas. Vol. 1358 (2.ª ed.). Springer-Verlag. doi : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-X.
Lurie, Jacob . "Lección 14: Existencia de reducciones de Borel (I)" (PDF) .
Shafarevich, Igor (1994). Geometría algebraica básica, segunda edición revisada y ampliada, vol. 2. Springer-Verlag.
Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría Algebraica Básica 2 . doi : 10.1007/978-3-642-38010-5 . ISBN 978-3-642-38009-9.

Enlaces externos

Ardakov, Konstantin; Wadsley, Simon. "Lema de Quillen para álgebras envolventes afines" (PDF) .

[Schemes_and_functors-1] Shafarevich 1994 , cap. VI § 4.1.

[2] Shafarevich 1994 , cap. VI § 4.4.

[3] De hecho, X está determinado por sus R puntos con varios anillos R : en términos precisos, dados los esquemas X , Y , cualquier transformación natural del functor $R\mapsto X(R)$ al functor $R\mapsto Y(R)$ determina un morfismo de esquemas X → Y de forma natural.

[4] El proyecto Stacks, 01J5

[5] El functor de puntos, el lema de Yoneda, espacios de módulos y propiedades universales (Brian Osserman), Cor. 3.6

[6] Esquemas y sus functores de puntos (Alexander Lai de Oliveira), Teorema 1

[7] Esto parece una notación estándar; véase, por ejemplo, Lurie, Jacob. "Dualidad de Poincaré nonabeliana en geometría algebraica (Clase 9)" (PDF) .

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