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Espectro de anillo altamente estructurado

En matemáticas, un espectro de anillo altamente estructurado o A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -anillo es un objeto en la teoría de homotopía que codifica un refinamiento de una...

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En matemáticas, un espectro de anillo altamente estructurado o A∞{\displaystyle A_{\infty }}-anillo es un objeto en la teoría de homotopía que codifica un refinamiento de una estructura multiplicativa en una teoría de cohomología . Una versión conmutativa de unA∞{\displaystyle A_{\infty }}-el anillo se llama unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-anillo. Si bien originalmente estaban motivados por cuestiones de topología geométrica y teoría de haces , hoy en día se utilizan con mayor frecuencia en la teoría de homotopía estable .

Fondo

Los espectros de anillos altamente estructurados tienen mejores propiedades formales que las teorías de cohomología multiplicativa , un punto utilizado, por ejemplo, en la construcción de formas modulares topológicas , y que también ha permitido nuevas construcciones de objetos más clásicos como la teoría K de Morava . Además de sus propiedades formales,mi∞{\displaystyle E_{\infty }}Las estructuras también son importantes en los cálculos, ya que permiten operaciones en la teoría de cohomología subyacente, análogas a (y generalizando) las conocidas operaciones de Steenrod en la cohomología ordinaria. Como no todas las teorías de cohomología permiten tales operaciones, no todas las estructuras multiplicativas pueden refinarse a unami∞{\displaystyle E_{\infty }}-estructura e incluso en los casos en que esto sea posible, puede ser una tarea formidable demostrarlo.

La idea general de los espectros de anillos altamente estructurados es la siguiente: si la multiplicación en una teoría de cohomología (análoga a la multiplicación en cohomología singular, que induce el producto de copa ) satisface la asociatividad (y la conmutatividad) solo hasta la homotopía, esto es demasiado laxo para muchas construcciones (por ejemplo, para límites y colímites en el sentido de la teoría de categorías). Por otro lado, exigir la asociatividad (o conmutatividad) estricta de forma ingenua es demasiado restrictivo para muchos de los ejemplos deseados. Una idea básica es que las relaciones solo necesitan cumplirse hasta la homotopía, pero estas homotopías deben satisfacer a su vez algunas relaciones de homotopía, cuyas homotopías a su vez satisfacen algunas condiciones de homotopía adicionales; y así sucesivamente. El enfoque clásico organiza esta estructura a través de operadas , mientras que el enfoque reciente de Jacob Lurie lo aborda utilizando∞{\displaystyle \infty }-óperas en∞{\displaystyle \infty }-categorías. Los enfoques más utilizados hoy en día emplean el lenguaje de las categorías modelo .

Todos estos enfoques dependen de la construcción cuidadosa de una categoría subyacente de espectros .

Enfoques para la definición

Óperas

La teoría de las operadas está motivada por el estudio de los espacios de lazos . Un espacio de lazos ΩX tiene una multiplicación

Ωincógnita×Ωincógnita→Ωincógnita{\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}

mediante composición de bucles. Aquí los dos bucles se aceleran por un factor de 2 y el primero toma el intervalo [0,1/2] y el segundo [1/2,1]. Este producto no es asociativo ya que las escalas no son compatibles, pero es asociativo salvo homotopía y las homotopías son coherentes salvo homotopías superiores y así sucesivamente. Esta situación se puede precisar diciendo que ΩX es un álgebra sobre la pequeña operada de intervalos . Este es un ejemplo de unA∞{\displaystyle A_{\infty }}-ópera, es decir, una operada de espacios topológicos que es homotópicamente equivalente a la operada asociativa pero que tiene la "libertad" apropiada para permitir que las cosas solo se cumplan hasta la homotopía (succinct: cualquier reemplazo cofibrante de la operada asociativa). UnaA∞{\displaystyle A_{\infty }}El espectro del anillo ahora puede imaginarse como un álgebra sobre unA∞{\displaystyle A_{\infty }}-operar en una categoría de espectros adecuada y en condiciones de compatibilidad adecuadas (véase mayo de 1977).

Para la definición demi∞{\displaystyle E_{\infty }}Los espectros de anillos esencialmente funcionan con el mismo enfoque, donde uno reemplaza elA∞{\displaystyle A_{\infty }}-ópera de unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-ópera, es decir, una operada de espacios topológicos contraíbles con condiciones de "libertad" análogas. Un ejemplo de tal operada puede motivarse nuevamente mediante el estudio de espacios de lazos. El producto del espacio de doble lazoΩ2incógnita{\displaystyle \Omega ^{2}X}ya es conmutativo salvo homotopía, pero esta homotopía no cumple condiciones superiores. Para obtener coherencia total de homotopías superiores, se debe suponer que el espacio es (equivalente a) un espacio de bucles n -ésimo para todo n . Esto conduce a la en ∞{\displaystyle \infty }-cubo operad de cubos de dimensión infinita en espacio de dimensión infinita, que es un ejemplo de unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-ópera.

El enfoque anterior fue iniciado por J. Peter May . Junto con Elmendorf, Kriz y Mandell, desarrolló en los años 90 una variante de su definición anterior de espectros, los llamados S-módulos (véase Elmendorf et al., 2007). Los S-módulos poseen una estructura de modelo , cuya categoría de homotopía es la categoría de homotopía estable . En los S-módulos, la categoría de módulos sobre unA∞{\displaystyle A_{\infty }}-ópera y la categoría de monoides son equivalentes de Quillen y asimismo la categoría de módulos sobre unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-ópera y la categoría de monoides conmutativos. Por lo tanto, ¿es posible definir?A∞{\displaystyle A_{\infty }}-espectros de anillos ymi∞{\displaystyle E_{\infty }}Los espectros de anillos se representan como monoides (conmutativos) en la categoría de S-módulos, denominados S-álgebras (conmutativas) . Dado que los monoides (conmutativos) son más fáciles de manejar que las álgebras sobre operadas complejas, este nuevo enfoque resulta más conveniente para muchos propósitos. Sin embargo, cabe señalar que la construcción de la categoría de S-módulos es técnicamente bastante compleja.

Diagrama de espectros

Otro enfoque para lograr el objetivo de ver espectros de anillos altamente estructurados como monoides en una categoría de espectros adecuada son las categorías de espectros de diagramas. Probablemente la más famosa de ellas sea la categoría de espectros simétricos, iniciada por Jeff Smith. Su idea básica es la siguiente:

En el sentido más ingenuo, un espectro es una secuencia de espacios (puntuados).(incógnita0,incógnita1,…){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}junto con mapasΣincógnitai→incógnitai+1{\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}donde ΣX denota la suspensión . Otro punto de vista es el siguiente: se considera la categoría de secuencias de espacios junto con la estructura monoidal dada por un producto smash . Entonces la secuencia de esferas(S0,S1,…){\displaystyle (S^{0},S^{1},\dots )}Tiene la estructura de un monoide y los espectros son simplemente módulos sobre este monoide. Si este monoide fuera conmutativo, surgiría una estructura monoide en la categoría de módulos sobre él (como en álgebra, donde los módulos sobre un anillo conmutativo tienen un producto tensorial). Pero la estructura monoide de la secuencia de esferas no es conmutativa debido a los diferentes ordenamientos de las coordenadas.

La idea ahora es que se pueden incorporar los cambios de coordenadas a la definición de una sucesión: una sucesión simétrica es una sucesión de espacios.(incógnita0,incógnita1,…){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}junto con una acción del n -ésimo grupo simétrico sobreincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}Si se equipa esto con un producto monoidal adecuado, se obtiene que la secuencia de esferas es un monoide conmutativo . Ahora bien, los espectros simétricos son módulos sobre la secuencia de esferas, es decir, una secuencia de espacios. (incógnita0,incógnita1,…){\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}junto con una acción del n -ésimo grupo simétrico sobreincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}y mapasΣincógnitai→incógnitai+1{\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}que satisfacen condiciones de equivariancia adecuadas. La categoría de espectros simétricos tiene un producto monoidal denotado por∧{\displaystyle \wedge }Un espectro de anillo (conmutativo) altamente estructurado se define ahora como un monoide (conmutativo) en espectros simétricos, llamado espectro de anillo simétrico (conmutativo) . Esto se reduce a dar mapas

incógnitanorte∧incógnitametro→incógnitanorte+metro,{\displaystyle X_{n}\wedge X_{m}\to X_{n+m},}

que satisfacen condiciones adecuadas de equivariancia, unitaridad y asociatividad (y conmutatividad) (véase Schwede 2007).

Existen varias estructuras modelo en espectros simétricos, que tienen como homotopía la categoría de homotopía estable. También aquí es cierto que la categoría de módulos sobre unA∞{\displaystyle A_{\infty }}-ópera y la categoría de monoides son equivalentes de Quillen y asimismo la categoría de módulos sobre unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-ópera y la categoría de monoides conmutativos.

Una variante de los espectros simétricos son los espectros ortogonales , donde se sustituye el grupo simétrico por el grupo ortogonal (véase Mandell et al., 2001). Tienen la ventaja de que los grupos de homotopía definidos ingenuamente coinciden con los de la categoría de homotopía estable, lo cual no ocurre con los espectros simétricos. (Es decir, el espectro de la esfera ahora es cofibrante). Por otro lado, los espectros simétricos tienen la ventaja de que también pueden definirse para conjuntos simpliciales . Los espectros simétricos y ortogonales son, posiblemente, las formas más sencillas de construir una categoría monoidal simétrica coherente de espectros.

Categorías infinitas

Las categorías infinitas son una variante de las categorías clásicas donde la composición de morfismos no está definida de forma única, sino solo hasta una elección contraíble. En general, no tiene sentido decir que un diagrama conmuta estrictamente en una categoría infinita, sino solo que conmuta hasta una homotopía coherente. Se puede definir una categoría infinita de espectros (como lo hizo Lurie ). También se pueden definir versiones infinitas de monoides (conmutativos) y luego definirA∞{\displaystyle A_{\infty }}-espectros de anillo como monoides en espectros ymi∞{\displaystyle E_{\infty }}-espectros de anillos como monoides conmutativos en espectros. Esto se desarrolla en el libro de Lurie, Álgebra Superior .

Comparación

Las categorías de S-módulos, espectros simétricos y ortogonales, y sus categorías de monoides (conmutativos) admiten comparaciones mediante equivalencias de Quillen gracias al trabajo de varios matemáticos (entre ellos Schwede). A pesar de ello, la categoría modelo de S-módulos y la categoría modelo de espectros simétricos presentan comportamientos muy diferentes: en los S-módulos, todo objeto es fibrante (lo cual no ocurre en los espectros simétricos), mientras que en estos últimos el espectro de la esfera es cofibrante (lo cual tampoco ocurre en los S-módulos). Según un teorema de Lewis, no es posible construir una única categoría de espectros que posea todas las propiedades deseadas. Una comparación entre el enfoque de la categoría infinito para los espectros y el enfoque más clásico de la categoría modelo para los espectros simétricos se puede encontrar en el libro Higher Algebra 4.4.4.9 de Lurie.

Ejemplos

Es más fácil escribir ejemplos concretos demi∞{\displaystyle E_{\infty }}Espectros de anillos en espectros simétricos/ortogonales. El ejemplo más fundamental es el espectro de la esfera con el mapa de multiplicación (canónico).Snorte∧Smetro→Snorte+metro{\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}}Tampoco es difícil escribir mapas de multiplicación para espectros de Eilenberg-MacLane (que representan la cohomología ordinaria ) y ciertos espectros de Thom (que representan teorías de bordismo ). La teoría K topológica (real o compleja) es otro ejemplo, pero más difícil de obtener: en espectros simétricos se utiliza una interpretación de la teoría K mediante álgebra C* , mientras que en el enfoque de la operada se utiliza una máquina de teoría de espacios de bucles infinitos multiplicativos .

Un enfoque más reciente para encontrarmi∞{\displaystyle E_{\infty }}-los refinamientos de las teorías de cohomología multiplicativa es la teoría de obstrucción de Goerss-Hopkins . Tuvo éxito en encontrarmi∞{\displaystyle E_{\infty }}estructuras de anillos en espectros de Lubin-Tate y en espectros elípticos . Mediante un método similar (pero más antiguo), también se pudo demostrar que la teoría K de Morava y otras variantes de la cohomología de Brown-Peterson poseen unaA∞{\displaystyle A_{\infty }}estructura de anillo (véase, por ejemplo, Baker y Jeanneret, 2002). Basterra y Mandell han demostrado que la cohomología de Brown-Peterson tiene incluso unami4{\displaystyle E_{4}}estructura de anillo -, donde unmi4{\displaystyle E_{4}}-la estructura se define reemplazando la operada de cubos de dimensión infinita en el espacio de dimensión infinita por cubos de 4 dimensiones en el espacio de 4 dimensiones en la definición demi∞{\displaystyle E_{\infty }}espectros de anillos. Por otro lado, Tyler Lawson ha demostrado que la cohomología de Brown-Peterson no tiene unmi∞{\displaystyle E_{\infty }}estructura.

Construcciones

Los espectros de anillos altamente estructurados permiten numerosas construcciones.

  • Forman una categoría modelo y, por lo tanto, existen límites (de homotopía) y colímites.
  • Los módulos sobre un espectro de anillo altamente estructurado forman una categoría de modelo estable . En particular, su categoría de homotopía está triangulada . Si el espectro de anillo tiene unami2{\displaystyle E_{2}}-estructura, la categoría de módulos tiene un producto de aplastamiento monoide ; si es al menosmi4{\displaystyle E_{4}}, entonces tiene un producto monoide simétrico (smash).
  • Se pueden formar espectros de anillos de grupo .
  • Se puede definir la K-teoría algebraica , la homología de Hochschild topológica , etc., de un espectro de anillos altamente estructurado.
  • Se puede definir el espacio de unidades, lo cual es crucial para algunas cuestiones de orientabilidad de los haces.

Véase también

Referencias

Referencias sobre espectros de anillos E ∞

  • Elmendorf, AD; Kriz, I.; Mandell, MA; May, JP (2007). Anillos, módulos y álgebras en la teoría de homotopía estable . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
  • Mayo, J. Peter (1977).mi∞{\displaystyle E_{\infty }}-espacios de anillo ymi∞{\displaystyle E_{\infty }}-espectros de anillos . Springer.
  • Mayo, J. Peter (2009). "¿Qué son exactamente?"mi∞{\displaystyle E_{\infty }}espacios de anillos ymi∞{\displaystyle E_{\infty }}espectros de anillos?". Monografías de Geometría y Topología . 16 : 215–282 . arXiv : 0903.2813 . doi : 10.2140/gtm.2009.16.215 .

Referencias sobre la estructura de los espectros del anillo E ∞

  • Basterra, M.; Mandell, MA (2005). " Homología y cohomología de espectros de anillos E-infinito " (PDF)
  • Lawson, T. (2017). "Cálculo de grupos de obstrucción parami∞{\displaystyle E_{\infty }}-espectros de anillo". arXiv : 1709.09629 [ math.AT ].

Referencias sobre ejemplos específicos

  • Baker, A.; Jeanneret, A. (2002). "Nuevos y valientes álgebras de Hopf y extensiones de MU -álgebras" . Homología, homotopía y aplicaciones . 4 (1): 163– 173. doi : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
  • Basterra, M.; Mandell, MA (junio de 2013). "La multiplicación en BP" (PDF) . Journal of Topology . 6 (2): 285–310 . arXiv : 1101.0023 . doi : 10.1112/jtopol/jts032 . S2CID 119652118. Archivado del original (PDF) el 6 de febrero de 2015. 
  • Lurie, J. "Álgebra superior" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 6 de febrero de 2015.
  • Mandell, MA; May, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). "Categorías de modelos de espectros de diagramas" (PDF) . Proc. London Math. Soc . 82 (2): 441– 512. doi : 10.1112/S0024611501012692 . S2CID 551246 . 
  • Richter, B. (2017). "Espectros de anillos conmutativos". arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
  • Schwede, S. (2001). "Módulos S y espectros simétricos" (PDF) . Math. Ann . 319 (3): 517– 532. doi : 10.1007/PL00004446 . S2CID 6866612 . 
  • Schwede S. Schwede, S. (2007). "Un proyecto de libro sin título sobre espectros simétricos" (PDF) .