Adjunto de Quillen

En la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas , una adjunción de Quillen entre dos categorías modelo cerradas C y D es un tipo especial de adjunción entre categorías que induce una adjunción entre las categorías de homotopía Ho( C ) y Ho( D ) mediante la construcción del functor derivado total . Las adjunciones de Quillen reciben su nombre en honor al matemático Daniel Quillen .

Dadas dos categorías de modelos cerrados C y D , una adjunción de Quillen es un par

( F , G ): C${\displaystyle \leftrightarrows }$D

de funtores adjuntos con F adjunto izquierdo de G tal que F preserva cofibraciones y cofibraciones triviales o, equivalentemente por los axiomas del modelo cerrado, tal que G preserva fibraciones y fibraciones triviales. En tal adjunción, F se llama funtor Quillen izquierdo y G se llama funtor Quillen derecho .

Es consecuencia de los axiomas que un functor Quillen izquierdo (derecho) preserva equivalencias débiles entre objetos cofibrantes (fibrantes). El teorema del functor derivado total de Quillen dice que el functor derivado izquierdo total

L F : Ho( C ) → Ho( D )

es un adjunto izquierdo del functor derivado derecho total

R G : Ho( D ) → Ho( C ).

Esta adjunción ( L F , R G ) se llama adjunción derivada .

Si ( F , G ) es una adjunción de Quillen como la anterior, tal que

F ( c ) → d

con c cofibrante y d fibrante es una equivalencia débil en D si y solo si

c → G ( d )

es una equivalencia débil en C entonces se llama una equivalencia de Quillen de las categorías de modelos cerrados C y D . En este caso la adjunción derivada es una equivalencia adjunta de categorías de modo que

L F ( c ) → d

es un isomorfismo en Ho( D ) si y solo si

c → R G ( d )

es un isomorfismo en Ho( C ).

• Goerss, Paul G. [en alemán] ; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Progress in Mathematics. Vol.  174. Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
• Philip S. Hirschhorn, Categorías de modelos y sus localizaciones, Sociedad Matemática Americana, 24 de agosto de 2009 - Matemáticas - 457 páginas