Sistema local

En matemáticas , un sistema local (o un sistema de coeficientes locales ) en un espacio topológico X es una herramienta de la topología algebraica que interpola entre la cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y la cohomología de haces general en la que los coeficientes varían de un punto a otro. Los sistemas de coeficientes locales fueron introducidos por Norman Steenrod en 1943. ^{[ 1 ]}

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las haces constructibles y perversas .

Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos abelianos / módulos ...) en X es un haz localmente constante (de grupos abelianos / de módulos ...) en X. En otras palabras, un haz${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Es un sistema local si cada punto tiene un vecindario abierto.${\displaystyle U}$de tal manera que el haz restringido${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$es isomorfo a la cesación de algún prehaz constante.

• Poleas constantes como${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$Esta es una herramienta útil para calcular la cohomología, ya que en buenas situaciones existe un isomorfismo entre la cohomología de haces y la cohomología singular:

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• Dejar${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$. Desde${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$, hay un${\displaystyle S^{1}}$familia de sistemas locales en X correspondientes a los mapas${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$:

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• Secciones horizontales de haces vectoriales con una conexión plana. Si${\displaystyle E\to X}$es un paquete vectorial con conexión plana${\displaystyle \nabla }$, entonces hay un sistema local dado por$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$ Por ejemplo, tomemos${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$y${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$, el fibrado trivial. Las secciones de E son n -tuplas de funciones en X , por lo que${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$define una conexión plana en E , al igual que${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$para cualquier matriz de formas únicas${\displaystyle \Theta }$en X. Las secciones horizontales son entonces

$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$es decir, las soluciones de la ecuación diferencial lineal${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$.

Si${\displaystyle \Theta }$se extiende a una forma única en${\displaystyle \mathbb {C} }$Lo anterior también definirá un sistema local en${\displaystyle \mathbb {C} }$, por lo que será trivial ya que${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$. Para dar un ejemplo interesante, elijamos uno con un polo en 0 :

$${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$en cuyo caso para${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$,$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• Un mapa de cobertura de n hojas${\displaystyle X\to Y}$es un sistema local con fibras dadas por el conjunto${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$De manera similar, un haz de fibras con fibras discretas es un sistema local, porque cada camino se eleva de forma única a una elevación dada de su punto base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales con valores de conjunto de la forma obvia).

• Un sistema local de k -espacios vectoriales en X es equivalente a una representación k -lineal de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$.

• Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los D-módulos que son además O_X -módulos coherentes (ver módulos O ).

• Si la conexión no es plana (es decir, su curvatura es distinta de cero), entonces el transporte paralelo de una fibra F_x sobre x alrededor de un bucle contráctil basado en x_0 puede dar un automorfismo no trivial de F_x , por lo que no necesariamente se pueden definir haces localmente constantes para conexiones no planas.

• La conexión de Gauss-Manin es un ejemplo destacado de una conexión cuyas secciones horizontales se estudian en relación con la variación de las estructuras de Hodge .

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, llamada cohomología con coeficientes locales , que se vuelven equivalentes bajo supuestos suaves sobre X.

• Dado un haz localmente constante${\displaystyle {\mathcal {L}}}$de grupos abelianos en X , tenemos los grupos de cohomología de haces${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$con coeficientes en${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

• Dado un haz localmente constante${\displaystyle {\mathcal {L}}}$de grupos abelianos en X , sea${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$sea ​​el grupo de todas las funciones f que mapean cada n- símplex singular .${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$a una sección global${\displaystyle f(\sigma )}$del haz de imágenes inversas${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$Estos grupos pueden convertirse en un complejo de cocadenas con diferenciales construidos como en la cohomología singular usual. Definir${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$ser la cohomología de este complejo.

• El grupo${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$de n -cadenas singulares en la cubierta universal de X tiene una acción de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$mediante transformaciones de mazo . Explícitamente, una transformación de mazo.${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$toma un n -símplex singular${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$a${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$. Entonces, dado un grupo abeliano L equipado con una acción de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$, se puede formar un complejo de cocadena a partir de los grupos${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$-homomorfismos equivariantes como se indicó anteriormente. Definir${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$ser la cohomología de este complejo.

Si X es paracompacto y localmente contraíble , entonces${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Si el sistema local corresponde a L , entonces existe una identificación.${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$compatible con los diferenciales, ^{[ 4 ]} así${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$.

Los sistemas locales tienen una ligera generalización a haces construibles : un haz construible en un espacio topológico conectado por caminos localmente.${\displaystyle X}$es un haz${\displaystyle {\mathcal {L}}}$de tal manera que existe una estratificación de

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del avance derivado para algún mapa continuo.${\displaystyle f:X\to Y}$. Por ejemplo, si observamos los puntos complejos del morfismo

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(st\cdot h(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

luego las fibras sobre

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

son las curvas planas dadas por${\displaystyle h}$pero las fibras sobre${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {V} (st)}$son${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$Si tomamos el avance derivado${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$Entonces obtenemos un haz construible.${\displaystyle \mathbb {V} }$tenemos los sistemas locales

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

mientras que${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$tenemos los sistemas locales

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle g}$es el género de la curva plana (que es${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$).

La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente al recubrimiento de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: véase Dualidad de Poincaré retorcida .

• Secuencia espectral de Leray
• Conexión de Gauss-Manin
• Módulo D
• homología de intersección
• gavilla perversa

• "Qué es realmente un sistema local" . Stack Exchange .
• Schnell, Christian. "Computing Cohomology of Local Systems" (PDF) .Analiza el cálculo de la cohomología con coeficientes en un sistema local utilizando el complejo de De Rham retorcido.
• Williamson, Geordie . "Una guía ilustrada de gavillas perversas" (PDF) .
• MacPherson, Robert (15 de diciembre de 1990). "Homología de intersección y haces perversos" (PDF) .
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Sistemas locales y haces construibles" (PDF) .