Espacio en bucle

En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de lazos Ω X de un espacio topológico con punto X es el espacio de lazos (con base) en X , es decir, aplicaciones continuas con punto del círculo con punto S ¹ a X , dotadas de la topología compacta-abierta . Dos lazos pueden multiplicarse mediante concatenación . Con esta operación, el espacio de lazos es un espacio A _∞ . Es decir, la multiplicación es homotópicamente asociativa .

El conjunto de componentes de camino de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada de bucles basados ​​en X , es un grupo , el grupo fundamental π ₁ ( X ).

Los espacios de bucles iterados de X se forman aplicando Ω varias veces.

Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto base. El espacio de lazos libres de un espacio topológico X es el espacio de aplicaciones del círculo S ¹ a X con la topología compacta-abierta. El espacio de lazos libres de X se suele denotar por${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$.

Como functor , la construcción del espacio de lazos libres es adjunta derecha al producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio de lazos es adjunta derecha a la suspensión reducida . Esta adjunción explica gran parte de la importancia de los espacios de lazos en la teoría de homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en informática es el currying , donde el producto cartesiano es adjunto al functor hom ). De manera informal, esto se conoce como dualidad de Eckmann-Hilton .

El espacio de bucles es dual a la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se denomina dualidad de Eckmann-Hilton . La observación básica es que

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

dónde${\displaystyle [A,B]}$es el conjunto de clases de homotopía de mapas${\displaystyle A\rightarrow B}$, y${\displaystyle \Sigma A}$es la suspensión de A, y${\displaystyle \approxeq }$denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el de currificar , módulo los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos.

En general,${\displaystyle [A,B]}$no tiene una estructura de grupo para espacios arbitrarios${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Sin embargo, se puede demostrar que${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$y${\displaystyle [Z,\Omega X]}$tienen estructuras de grupo naturales cuando${\displaystyle Z}$y${\displaystyle X}$son señalados , y el isomorfismo mencionado anteriormente es de esos grupos. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, estableciendo${\displaystyle Z=S^{k-1}}$(el${\displaystyle k-1}$esfera) da la relación

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

Esto se deduce ya que el grupo de homotopía se define como${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$y las esferas se pueden obtener mediante suspensiones unas de otras, es decir${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$. ^{[ 2 ]}

• Periodicidad de Bott
• espacio de Eilenberg-MacLane
• Bucle libre
• Grupo fundamental
• La conjetura de Gray
• Lista de topologías
• Grupo de bucle
• Ruta (topología)
• Espectro (topología)
• Espacio de caminos (topología algebraica)

• Adams, John Frank (1978), Espacios de bucles infinitos , Annals of Mathematics Studies, vol.  90, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, MR 0505692 
• May, J. Peter (1972), La geometría de los espacios de bucles iterados , Lecture Notes in Mathematics, vol.  271, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0067491 , ISBN 978-3-540-05904-2, MR 0420610