Grupo de bucle

En matemáticas , un grupo de bucles (que no debe confundirse con un bucle ) es un grupo de bucles en un grupo topológico G con multiplicación definida puntualmente .

En su forma más general , un grupo de bucles es un grupo de aplicaciones continuas de una variedad M a un grupo topológico G.

Más específicamente, ^[1] sea M = S ¹ , el círculo en el plano complejo , y sea LG el espacio de mapas continuos S ¹ → G , es decir

${\displaystyle LG=\{\gamma :S^{1}\to G|\gamma \in C(S^{1},G)\},}$

equipado con la topología compacta-abierta . Un elemento de LG se llama bucle en G. La multiplicación puntual de tales bucles le da a LG la estructura de un grupo topológico. Parametrizar S ¹ con θ ,

${\displaystyle \gamma :\theta \in S^{1}\mapsto \gamma (\theta )\in G,}$

y definir la multiplicación en LG por

${\displaystyle (\gamma _{1}\gamma _{2})(\theta )\equiv \gamma _{1}(\theta )\gamma _{2}(\theta ).}$

La asociatividad se deduce de la asociatividad en G. La inversa está dada por

${\displaystyle \gamma ^{-1}:\gamma ^{-1}(\theta )\equiv \gamma (\theta )^{-1},}$

y la identidad por

${\displaystyle e:\theta \mapsto e\in G.}$

El espacio LG se llama grupo de bucles libres en G. Un grupo de bucles es cualquier subgrupo del grupo de bucles libres LG .

Un ejemplo importante de un grupo de bucle es el grupo

${\displaystyle \Omega G\,}$

de bucles basados ​​en G. Se define como el núcleo del mapa de evaluación.

${\displaystyle e_{1}:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)}$,

y por lo tanto es un subgrupo normal cerrado de LG . (Aquí, e ₁ es la función que envía un bucle a su valor en ). Nótese que podemos incorporar G en LG como el subgrupo de bucles constantes. En consecuencia, llegamos a una secuencia exacta dividida${\displaystyle 1\in S^{1}}$

${\displaystyle 1\to \Omega G\to LG\to G\to 1}$.

El espacio que LG divide es un producto semidirecto ,

${\displaystyle LG=\Omega G\rtimes G}$.

También podemos pensar en Ω G como el espacio de bucles en G . Desde este punto de vista, Ω G es un H-espacio con respecto a la concatenación de bucles. A primera vista, esto parece proporcionar a Ω G dos mapas de producto muy diferentes. Sin embargo, se puede demostrar que la concatenación y la multiplicación puntual son homotópicas . Por lo tanto, en términos de la teoría de homotopía de Ω G , estos mapas son intercambiables.

Los grupos de bucles fueron utilizados para explicar el fenómeno de las transformadas de Bäcklund en ecuaciones de solitones por Chuu-Lian Terng y Karen Uhlenbeck . ^[2]

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios en física matemática. Vol. 7. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-82836-1– vía ScienceDirect .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Grupos de bucles, Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, Nueva York: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853535-5, Sr.  0900587

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